CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE. CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 4. HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH THOI

1. HÌNH BÌNH HÀNH 

Định nghĩa:

HĐKP1:

Dùng thước đo góc ta xác định được A1 = D và C1 = D

Ta có: 

+ A1 = D và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

+ C1 = D và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

⇒ Kết luận:

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1: (SGK/tr73)

Tính chất:

HĐKP2:

+ Tứ giác ABCD có AB // DC và AD // BC.

Từ AB // DC suy ra A1 = C1 (so le trong); B1=D1 (so le trong).

Từ AD // BC suy ra DAC = BCA  (so le trong).

Xét ∆ABC và ∆CDA có:

A1 = C1

AC là cạnh chung

BCA = DAC  

Do đó ∆ABC = ∆CDA (g.c.g).

+ Do ∆ABC = ∆CDA nên AB = CD (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆OAB và ∆OCD có:

A1 = C1; 

AB = CD; 

B1=D1 (cmt)

Do đó ∆OAB = ∆OCD (g.c.g).

Định lí:

Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 2: (SGK/tr74)

Thực hành 1:

Trong hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

+ Các đoạn thẳng bằng nhau: PQ = RS; PS = QR; IP = IR; IS = IQ.

+ Các góc bằng nhau:

 PQR=PSR;SPQ=SRQ; RSQ=SQP;

 PSQ=SQR;PRQ=RPS; PRS=RPQ; SIP=QIR; SIP=QIR; SIQ=PIR

Vận dụng 1:

Giả sử mắt lưới của lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và độ dài hai cạnh là 4 cm, 5 cm.

Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song nên là hình bình hành. 

Giả sử AB = 4 cm, AD = 5 cm.

Do đó CD = AB = 4 cm; BC = AD = 5 cm.

Vận dụng 2:

Vì EFGH là hình bình hành nên ta có:

+ HG = EF = 40 m;

+ M là trung điểm của EG nên EG = 2EM = 2.36 = 72 (m);

+ M là trung điểm của FH nên FH = 2MH = 2.16 = 32 (m).

Vậy HG = 40 m và độ dài hai đường chéo lần lượt là EG = 72 m, FH = 32 m.

DHNB:

HĐKP3:

a) 

Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AB = CD; 

BC = DA; 

AC là cạnh chung

Do đó ∆ABC = ∆CDA (c.c.c)

Suy ra BAC=DCA và BCA=DAC (các cặp góc tương ứng).

Vì BAC=DCA và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì BCA=DAC và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

b) 

Ta có BAC=DCA và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AC là cạnh chung

BAC=DCA

AB = CD

Do đó ∆ABC = ∆CDA (c.g.c)

Suy ra BCA= DAC (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.g

c) 

Ta có: BCA=DAC và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AC là cạnh chung

BCA=DAC

BC = AD

Do đó ∆ABC = ∆CDA (c.g.c)

Suy ra BAC= DCA (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

d)

Xét tứ giác ABCD ta có:

 A+B+C+D=360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mà A=C, B=D 

nên ta có: A+B+A+B=360°

Suy ra A+B=360°2=180° và A+D=180°

Do đó AD // BC và AB // CD.

e)

Xét ∆PAB và ∆PCD có:

PA = PC; 

APB=CPD (đối đỉnh); 

PB = PD

Do đó ∆PAB=∆PCD (c.g.c)

Suy ra BAP=DCP (hai góc tương ứng)

Hay BAC=DCA 

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AB // CD.

Tương tự ta cũng chứng minh được ∆PAD = ∆PCB (c.g.c)

Suy ra DAP=BCP (hai góc tương ứng)

Hay DAC=BCA

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AD // BC.

⇒ Kết luận: Ta có các DHNB một tứ giác là hình bình hành như sau:

1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ 3 (SGK/tr 75)

Thực hành 2:

+ Hình 9a): Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

+ Hình 9b): Tứ giác EFGH có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

+ Hình 9c): Tứ giác IJKL có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.

+ Hình 9d): Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

+ Hình 9e): Tứ giác RSTU có hai góc đối không bằng nhau nên không là hình bình hành.

+ Hình 9g): Tứ giác VXYZ có hai cạnh đối VZ và XY vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

Vậy trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác RSTU không là hình bình hành.

Vận dụng 3:

Xét hình bình hành ABCD có:

 hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét hình bình hành AKCH có:

hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. HÌNH THOI

Định nghĩa

HĐKP4:

Dùng thước đo độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Nhận xét: AB = BC = CD = DA.

Kết luận: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ 4 ( SGK/tr77 )

Tính chất:

HĐKP5:

a) Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau AB = BC = CD = DA

Suy ra các cạnh đối cũng bằng nhau: AB = CD và AD = BC.

Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.

b) Theo câu a, hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hay OA = OC và OB = OD.

Xét ∆OAB và ∆OAD có:

OA là cạnh chung

OB = OD

AB = AD

Do đó ∆OAB = ∆OAD (c.c.c) (1)

CMTT ta cũng có ∆OCB = ∆OCD (c.c.c) (2)

Xét ∆OAB và ∆OCD có:

OA = OC

 AOB= COD (đối đỉnh)

OB = OD

Do đó ∆OAB = ∆OCD (c.g.c) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: ∆OAB = ∆OAD = ∆OCD = ∆OCB.

Nhận xét: Hình thoi cũng là hình bình hành nên hình thoi có đầy đủ các tính chất của một hình bình hành.

Định lí:

Trong hình thoi:

- Hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc góc hình thoi.

Ví dụ 5. (SGK/tr79)

Thực hành 3:

a)

Do MNPQ là hình thoi 

Mà MP∩NQ={I}

MP⊥NQ tại I.

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆MNI vuông tại I, ta có:

MN2 = MI2 + NI2

Suy ra  MI=MN2- NI2 =102- 62 = 8 (dm).

Do I là trung điểm của MP nên MP = 2MI = 2.8 = 16 (dm).

Vậy MP = 16 dm.

b)

Vì MNPQ là hình thoi nên MQ // NP

Do đó MNP + NMQ = 180°

Suy ra NMQ = 180°− MNP =180° − 128° = 52°

Do MNPQ là hình thoi nên MP và tia phân giác của góc NMQ.

Suy ra IMN=12NMQ=12.52° = 26°

Vậy  IMN= 26°

Vận dụng 4:

Hình ảnh chiếc khuy áo được vẽ lại bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Khi đó hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra  OA=12AC=1,6 cm và OB=12 BD=1,2cm

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆OAB vuông tại O, ta có:

AB2 = OA2 + OB2

Suy ra  AB=OA2+ OB2 =1,62+ 1,22 =2(cm).

Vậy độ dài cạnh của khuy áo là 2 cm.

DHNB:

HĐKP6:

+ Trường hợp 1: AB = AD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD.

Lại có AB = AD (gt)

Do đó AB = AD = BC = CD.

+ Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Vì ABCD là hình bình hành 

nên AD = BC, AB = CD 

và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆OAB và ∆OCB có:

AOB=COB=90° 

OB là cạnh chung

OA = OC

Do đó ∆OAB = ∆OCB (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng).

Mà AD = BC và AB = CD 

nên AB = CD = CB = DA.

+ Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Do đó BAC=CDA (so le trong).

Mà BAC=CAD (do AC là tia phân giác của góc BAD)

Suy ra CAD=CDA

Xét tam giác ACD có:

 CAD=CDA 

Tam giác ACD cân tại D

Suy ra DA = DC.

Lại có AB = CD và AD = BC (cmt).

Do đó AB = BC = CD = DA.

+ Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC.

Cmtt như trường hợp 3 ta cũng có AB = BC = CD = DA.

Vận dụng 5:

Tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm nên tứ giác này là hình thoi.

Chu vi của một hình thoi là: 4.2 = 8 (cm).

Chu vi của hoa văn là: 3.8 = 24 (cm).

Vậy các tứ giác trong hoa văn là hình thoi và chu vi của hoa văn là 24 cm.

Vận dụng 6:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường nên là hình thoi.

Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: 52: 4 = 13 (cm).

Giả sử đường chéo AC = 24 cm và O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có O là trung điểm của AC nên OA = OC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆OAB vuông tại O, ta có:

AB2 = OA2 + OB2

Suy ra OB = AB2-OA2=132-122=5 (cm) 

Do O là trung điểm của BD nên BD=2OB=2.5=10 (cm).

Vậy hình thoi có độ dài cạnh là 13 cm và độ dài đường chéo còn lại là 10 cm.