BÀI 3. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

1. ÁP DỤNG CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VÀO TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: a) Từ trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác, xét xem tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP vuông tại M có thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không?

b) Từ trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác, xét xem nếu tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP vuông tại M có thì tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

Giải nhanh:

a) Xét ΔABC vàΔ MNP có: ; = 90⁰=>ΔABCᔕΔMNP (g.g)

b) Xét ΔABC và ΔMNP có: = 90⁰; => ΔABCᔕΔMNP (c.g.c)

Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D có DH là đường cao (Hình 3) Chứng minh rằng DE² =EH.EF

Giải nhanh:

ΔHED vuông tại H và ΔDEF vuông tại D có chung

Vậy ΔHEDᔕΔDEF (g.g) nên => DE² =EH.EF

Bài 3: Tính chiều cao của cột cờ trong Hoạt động khởi động (trang 73)

Giải nhanh:

Gọi chiều cao cột cờ là x (m); (x > 0).

ΔABC và ΔDEF là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau =>

Xét ΔABC vuông tại A ΔDEF vuông tại D có:

Suy ra: ΔABCᔕΔDEF (g.g) => => => x = 8

2. THÊM MỘT DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC VUÔNG ĐỒNG DẠNG

Bài 1:  Cho hai tam giác vuông ABC và DEF có các kích thước như Hình 4.

a) Hãy tính độ dài cạnh AC và DF.

b) So sánh các tỉ số

c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF

Giải nhanh:

a) ΔABC vuông A ta có: BC²=AB²+AC² => AC = 8; Tương tự: DF = 12

b) Ta có: = = =>   =

c) ΔABCᔕΔDEF

Bài 2: Trong Hình 6, tam giác nào đồng dạng với tam giác DEF?

Giải nhanh:

Tam giác ABC và tam giác DFE có: = =>ΔABCᔕΔDFE

Bài 3: Trong Hình 7, biết ΔMNPᔕΔABC với tỉ số đồng dạng k =, hai đường cao tương ứng là MK và AH

a) Chứng minh rằng ΔMNKᔕΔABH và = k

b) Gọi S₁ là diện tích tam giác MNP và S₂ là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng  = k²

Giải nhanh:

a) Xét tam giác vuông MNK và ABH có:

Suy ra ΔMNKᔕΔABH nên = k

b) ΔMNPᔕΔABC nên = k=>  = k² 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 8.

Giải nhanh:

=  nên ΔTUVᔕΔMKN; =  nên ΔDEF ᔕΔGHI

Tam giác PQR có 90⁰ – 48⁰ = 42⁰

Xét tam giác vuông BAC và PQR ta có: = 42⁰ nên ΔBACᔕΔPQR (g.g)

Bài 2: Quan sát hình 9

a) Chứng minh rằng ΔDEFᔕΔHDF

b) Chứng minh DF² =FH.FE

c) Biết EF = 15 cm, FH = 5,4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DF

Giải nhanh:

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có:  chung => ΔDEFᔕΔHDF (g.g)

b) Ta có ΔDEFᔕΔHDF nên = => DF² = FH.FE

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: DF² = 5,4 .15 => DF = 9 (cm)

Bài 3: Trong Hình 10, biết MB = 20m, MF = 2m, EF = 1,65 m. Tính chiều cao AB của ngọn tháp

Giải nhanh:

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có:  chung

Suy ra ΔMEFᔕΔMAB (g.g) nên =   => =   => AB = 16,5 (m)

Bài 4: Trong Hình 11, cho biết , BE = 25cm, AB = 20cm, DC = 15cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE

Giải nhanh:

Xét tam giác vuông ABE và ACD có  => ΔABEᔕΔACD (g.g)

• =   => =   => AC = 12

ΔABE vuông A : BE² =AB² +AE² => AE =15 => CE = AE - AC = 15 - 12 = 3

Bài 5: Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:

a) ΔABHᔕΔDCB                                                 b) =  

Giải nhanh:

a) Ta có BH⊥AE,CJ⊥AE => BH // CJ => ( hai góc so le trong)

Xét tam giác vuông ABH và DCB ta có:  => ΔABHᔕΔDCB (g.g) 

b) ΔABHᔕΔDCB nên 

Xét ΔDCB và ΔAEB vuông ta có: => ΔDCBᔕΔAEB (g.g) => =  

Bài 6: Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5m

Giải nhanh:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Ta có: A’C’ ⊥ A’B, AC ⊥ A’B, DE ⊥ A’B ⇒ A’C’ // AC // DE.

Ta có: ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC) => =  

Mà AC = 3m; DE = 1,5 m nên =   = => =

Ta có: = = = 1,2 => DB = 1,2 ; AB = 2,4

⇒ A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 m

+ ΔACB ᔕ ΔA’C’B (vì AC // A’C’) => =  

⇒A′C′=AC.A′B : AB=2.29,4: 2,4=24,5(m)

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB

b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM . AB = AN . AC

c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC

d) Cho biết AB = 9cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH

Giải nhanh:

a) Xét tam giác vuông AMH và AHB ta có: chung => ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên =   => AM. AB = AH² (1)

Xét ΔANH và AHC vuông: chung => ΔANH ᔕ ΔAHC=> =    (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM . AB = AN . AC

c) Xét tam giác vuông AMN và ABC ta có: =   => ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) ΔABC vuông ta có:  BC² =AB² +AC² => BC = 15 (cm)

Ta có AH . BC = AB . AC => AH . 15 = 9 . 12 => AH=MN = 7,2 (cm)

ΔANM ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k = =   

Nên tỉ số diện tích của tam giác AMN và ABC là k² =

SABC: AB.AC=54(cm²) => SAMN là: 54. =12,4416(cm²)