Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Bài 1 trang 62 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Tam giác ABC có độ dài AB=9 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 61,25 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C’.

Giải

Ta có $\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$ (giả thiết)

$\Rightarrow \frac{A'B'}{ AB} = \frac{A'C'}{AC}=\frac{ B'C'}{BC}$

Suy ra $\frac{A'B'}{ 9} = \frac{A'C'}{12}=\frac{ B'C'}{14} = \frac{P_{\Delta A'B'C'}}{P_{\Delta ABC}} = \frac{61,25}{35} = \frac{7}{4}$

Do đó A'B' = 15,75 (cm), A'C' = 21 (cm), B'C' = 24,5 (cm).

Bài 2 trang 62 SBT Toán 8 tập 2 CTST: 

a) Tam giác ABC và MBN (Hình 4) có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác ABC có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MBN.

Giải

a) Ta có AB = AM+ MB = 2x + x = 3x.

Xét $\Delta MBN$ và $\Delta ABC$ có:

$\frac{MB}{AB}=\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} =\frac{1}{3}$

Suy ra $\Delta MBN \sim \Delta ABC$

b) Ta có $\Delta MBN \sim \Delta ABC$, suy ra tỉ số chu vi của hai tam giác bằng tỉ số đồng dạng:

$\frac{P_{\Delta MBN}}{P_{\Delta ABC}}= \frac{ 1}{3}$ hay $\frac{P_{\Delta MBN}}{15} = \frac{1}{3}$. Vậy $P_{\Delta MBN} = 5 cm$  

Bài 3 trang 63 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác MAB và ABN như Hình 5. Biết MA= 10 cm, MB = 15 cm AB=8 cm, NA= 12 cm, NB=6,4 cm. Chứng minh rằng:

a) $\Delta MAB \sim \Delta ABN.$

b) Tứ giác AMBN là hình thang.

Giải

a) Xét $\Delta MAB$ và $\Delta ABN$ có : 

$\frac{MA}{AB} =\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

$\frac{AB}{BN} =\frac{8}{6,4} = \frac{5}{4}$

$\frac{MB}{AN} =\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

Suy ra $\frac{MA}{AB} =\frac{AB}{BN} =\frac{MB}{AN}$

Vậy $\Delta MAB \sim \Delta ABN$

b) Vì $\Delta MAB \sim \Delta ABN$ nênMA // NB 

$\Rightarrow$ AMBN là hình thang 

Bài 4 trang 63 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Anh Minh dự định thiết kế sân vườn nhà mình có hai bồn hoa hình tam giác đồng dạng với nhau (Hình 6). Bồn hoa thứ nhất có chu vi 7,5 m và cạnh dài nhất là 3,5 m. Bồn hoa thứ hai có chu vi 4,5 m. Tính độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai.

Giải

Ta có $\Delta ABC \sim \Delta DEF$

$\Rightarrow \frac{BC}{EF} = \frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DEF}} = \frac{7,5}{4,5}=\frac{5}{3}$

Do đó $\frac{3,5}{EF} =\frac{5}{3}$ suy ra EF = 2,1 ( m)

Trường hợp đồng dạng  thứ hai

Bài 5 trang 63 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Quan sát Hình.7. Chứng minh rằng $\widehat{OBA} = \widehat{OAC}$

Giải

Ta có $\frac{OB}{OA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}; \frac{OA}{OC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta OCA$ có $\frac{OB}{OA} = \frac{OA}{OC}$ và $\widehat{O}$ là góc chung.

Suy ra $\Delta OAB \sim \Delta OCA $

Vậy $\widehat{OBA} = \widehat{OAC}$

Bài 6 trang 63 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Quan sát Hình 8.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC \sim  \Delta DEF$.

b) Cho biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, DN là đường trung tuyến của tam giác DEF và AM = 5,1 cm. Tính độ dài DN.

Giải

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\frac{AM}{DN} = \frac{AB}{DE} =\frac{3}{4}$

Do đó $\frac{5,1}{DN} = \frac{3}{4}$

Vậy DN = 6,8 cm

Bài 7 trang 63 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC có AB=12,AC=15. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM=7,5, AN=6. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANM \sim  \Delta ABC$.

b) $\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$.

Giải

a) $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có $\frac{AN}{AB} =\frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$.$\widehat {A} $ là góc chung

Suy ra $\Delta ANM \sim \Delta ABC$

b) Ta có $\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC}$ suy ra $\frac{AN}{AM} = \frac{AB}{AC}$ và $\widehat{A}$ là góc chung

Suy ra $\Delta ANB \sim \Delta AMC$

Vậy $\widehat{ABN} \widehat{ACM}$

Bài 8 trang 64 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác đều ABC, từ B và C kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, hai đường này cắt nhau tại M. Qua M kẻ đường thẳng cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

a) $\frac{CA}{CF} =\frac{ME}{MF}$ và $\frac{BE}{BA} =\frac{ME}{MF}$ 

b) $\Delta BCE \sim \Delta CFB$

Giải

a) Áp dụng định lý thales, ta có:

AE// CM (vì AB // CM) suy ra $\frac{CA}{CF} =\frac{ME}{MF}$

AF// BM ( vì AC // BM) suy ra $\frac{AE}{BE} =\frac{EF}{ME}$

Ta có $\frac{AE}{BE} + \frac{BE}{BE} = \frac{EF}{ME}+ \frac{ME}{ME}$

Suy ra $\frac{BA}{BE}=\frac{MF}{ME}$ hay $\frac{BE}{BA}= \frac{ME}{MF}$

b) Từ câu a, ta có $\frac{CA}{CF} = \frac{BE}{BA}$. Mà AB =AC = BC

Do đó $\frac{BC}{CF} \frac{BE}{CB}, \widehat{EBC} = \widehat { BFC}$ ( tam giác ABC đều )

Suy ra $\Delta BCE \sim \Delta CFB$

Trường hợp đồng dạng thứ ba 

Bài 9 trang 64 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Quan sát Hình 9.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC \sim \Delta MNQ$

b) Tính x, y.

Giải

a) $\Delta ABC$ và $\Delta MNQ$ có $\widehat{A} = \widehat{M}, \widehat{C} = \widehat{Q}$

Suy ra $\Delta ABC \sim \Delta MNQ$

b) Ta có $\Delta ABC \sim \Delta MNQ$

Suy ra $\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MQ}= \frac{BC}{NQ}$ hay $\frac{y-1}{5} = \frac{3,5}{x+2} = \frac{5}{10}$

Vậy x = 5; y = 3,5

Bài 10 trang 64 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Trong Hình 10, cho biết AB=4,2; IA=6; IC=10; $\widehat{ABI}=60^{\circ};\widehat {CDx}=120^{\circ}$. Tính độ dài CD.

Giải

Ta có $\widehat {IDC} = 180^{\circ} - 120 ^{\circ} = 60^{\circ}$

$\Delta IAB \sim \Delta ICD$

Suy ra $\frac{IA}{IC} = \frac{AB}{CD} hay $\frac{6}{10}= \frac{4,2}{CD}$. Vậy CD =7

Bài 11 trang 64 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Quan sát Hình 11. Vẽ vào tờ giấy tam giác MNP với NP=6 cm, N= $45^{\circ}$, P=$75^{\circ}$

a) Chứng minh rằng $\Delta MNP \sim  \Delta ABC$.

b) Dùng thước đo chiều dài cạnh MP của $\Delta MNP$. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ sông trong Hình 11.

Giải

a) Tam giác MNP và tam giác ABC có:
$\widehat{N} = \widehat{B} = 45^{\circ},\widehat{P} = \widehat{C} = 75^{\circ}$

Do đó $\Delta MNP \sim \Delta ABC$

b) Vì $\Delta MNP \sim \Delta ABC$ nên $\frac{MP}{AC} =\frac{NP}{BC}$, do đó $AC= \frac{MP.BC}{NP} = \frac{MP.36}{6} = 6 MP$

Bài 12 trang 64 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Trong Hình 12, cho tứ giác ABCD là hình thang. Biết DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}$ và $\widehat{DAB}= \widehat{DBC}$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABD \sim \Delta BDC$.

b) $BD^{2} = AB. DC$.

Giải

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$

$\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$ ( so le trong)

Suy ra $\Delta ABD \sim \Delta BDC$

b) Ta có $\Delta ABD \sim \Delta BDC$

Suy ra $\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{DC}$

Do đó $BD^{2} = AB . DC$

Bài 13 trang 65 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$.

a) Chứng minh rằng $\Delta AED \sim  \Delta ABC$.

b) Tia phân giác của $\widehat{ BAC}$ cắt DE tại M và cắt BC tại N. Chứng minh rằng ME . NC=MD .NB.

Giải

a) Xét $\Delta AED$ và $\Delta AED$ có $\widehat{A}$ là góc chung

$\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ ( giả thiết)

Suy ra $\Delta AED \sim \Delta ABC$

b) Ta có AM là tia phân giác cả $\widehat{DAE}$ suy ra $\frac{ME}{MD} = \frac{AE}{AD}$

Ta có AN là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ suy ra $\frac{AE}{AD} = \frac{AB}{AC}$

Do đó $\frac{ME}{MD} = \frac{NB}{NC}$

Vậy ME . NC = MD . NB