A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k thì tỉ số chu vi của hai tam giác đó bằng:

A. $\frac{1}{k}$

B. $\frac{1}{k^{2}}$

C. k

D. $k^{2}$

Giải

Đáp án đúng: C. k

Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số chu vi hai tam giác đó cũng bằng k.
Câu 2 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu $\Delta ABC \sim \Delta MNP$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số nào?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{9}{4}$

D. $\frac{4}{9}$

Giải

Đáp án đúng B. $\frac{3}{2}$

Nếu $\Delta ABC \sim \Delta MNP$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\frac{1}{k} = \frac{3}{2}$

Câu 3 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu tam giác ABC có EF//AC (với E $\in$ AB, F $\in$ BC) thì:

A. $\Delta BEF \sim \Delta ABC$

B. $\Delta FBE \sim \Delta CAB$

C. $\Delta EBF \sim \Delta ABC$

D. $\Delta BFE \sim \Delta BAC$

Giải

Đáp án đúng C. $\Delta EBF \sim \Delta ABC$

Vì tam giác ABC có EF//AC (với E $\in$ AB, F $\in$ BC) nên $\Delta EBF \sim \Delta ABC$

Câu 4 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu $\Delta ABD \sim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{3}{4}$, biết DF = 12 cm. Khi đó, AD bằng:

A. 9cm.

B. 12cm.

C. 16cm.

D. 24cm.

Giải

Đáp án đúng A. 9cm.

Vì $\Delta ABD \sim \Delta DEF$ nên $\frac{AD}{DF} = \frac{3}{4}$, suy ra $\frac{AD}{12}= \frac{3}{4}$

Vậy AD = $\frac{3.12}{4}= 9$ ( cm )

Câu 5 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu tam giác ABC và tam giác DEF có $\widehat{A} = \widehat{D}, \widehat{C} = \widehat{F}$ thì:

A. $\Delta ABC \sim \Delta EDF$

B. $\Delta ABC \sim \Delta EFD$

C. $\Delta ACB \sim \Delta DFE$

D. $\Delta CBA \sim \Delta FDE$

Giải

Đáp án đúng C. $\Delta ACB \sim \Delta DFE$

Ta có tam giác ABC và tam giác DEF có $\widehat{A} = \widehat{D}, \widehat{C} = \widehat{F}$

$\Rightarrow \Delta ACB \sim \Delta DFE$

Câu 6 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho $Delta MNP \sim \Delta EFG$, cho biết MN = 8cm. NP = 15 cm, FG = 12 cm. Khi đó EF bằng:

A. 9cm.

B. 6,4cm.

C. 22,5cm.

D. 10cm.

Giải

Đáp án đúng B. 6,4cm.

Vì $\Delta MNP \sim \Delta EFG$ nên $\frac{MN}{EF} = \frac{NP}{FG}$

$\Rightarrow \frac{8}{EF} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$, nên EF = $\frac{8.4}{5}= \frac{32}{5}$= 6,4 (cm) 

Câu 7 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Nếu $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$, biết $\widehat{Y} = 75^{\circ}, \widehat{Z} = 36^{\circ}$. Khi đó số đo $\widehat{A}$ bằng:

A. $60^{\circ}$

B. $69^{\circ}$

C. $36^{\circ}$

D. $75^{\circ}$

Giải 

Đáp án đúng B. $69^{\circ}$

Ta có 

$\widehat{X} = 180^{\circ} - \widehat{Y} - \widehat{Z} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 36^{\circ} = 69^{\circ}$

Vì $Delta ABC \sim \Delta XYZ$ nên $\widehat{A} = \widehat{X} = 69^{\circ}$

Câu 8 trang 73 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho hình thang ABCD (AB//CD), có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AB  9cm, CD = 15 cm. Khi đó $\Delta AOB \sim \Delta COD$ với tỉ số đồng dạng là:

A. $k = \frac{2}{3}$

B. $k = \frac{3}{2}$

C. $k = \frac{3}{5}$

D. $k = \frac{5}{3}$

Giải

Đáp án đúng C. $k = \frac{3}{5}$

Tam giác AOB có: AB//CD nên $\Delta AOB \sim \Delta COD$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{AB}{AC} =\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

B. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 trang 74 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho Hình 1. Tính x, y, z, w.

Giải

Xét $\Delta STR$ và $\Delta TUR$

$\widehat{STR} = \widehat{TUR} = 45^{\circ}, \widehat{SRT} = \widehat{TRU}= 25^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta STR \sim \Delta TUR$ nên $ \frac{ST}{TU} = \frac{TR}{UR} =\frac{SR}{TR}$ hay $\frac{7}{y} = \frac{18}{x}= \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$

Suy ra x = 21,6; y = 8,4

Xét $\Delta STR$ và $\Delta UVR$

$\widehat{STR} = \widehat{V} = 45^{\circ}, \widehat{SRT} = \widehat{VRU}= 25^{\circ}$

$\Delta STR \sim \Delta UVR$, do đó $\frac{ST}{UV} = \frac{TR}{VR} = \frac{SR}{UR}$, hay $\frac{7}{z} = \frac{18}{w} = \frac{15}{21,6}$

Suy ra, z =10,08;w=25,92

Bài 2 trang 74 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho Hình 2, biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, MD là tia phân giác của $\widehat{AMB}$, ME là tia phân giác của $\widehat{AMC}$. Chứng minh rằng $\Delta ADE \sim \Delta ABC$

Giải

Tam giác AMB có MD là đường phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\frac{DA}{DB} = \frac{MA}{MB}$

Tam giác AMB có MD là đường phân giác của $\widehat{AMC}$ nên $\frac{EA}{EC} = \frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC nên $\frac{DA}{DB} =\frac{EA}{EC}$

Tam giác ABC có: $\frac{DA}{DB} =\frac{EA}{EC}$ nên DE//BC. Vậy$\Delta ADE \sim\Delta ABC$

Bài 3 trang 74 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Tính chiều cao cột điện AB trong Hình 3.

Giải

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDF$ có

$\widehat{B} =\widehat{D} =90^{\circ}, \widehat{A} =\widehat{E}$

Do đó $\Delta ABC \sim \Delta EDF$ nên $\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF}$, hay $\frac{h}{2} =\frac{12,3}{3}$

$\Rightarrow h = \frac{12,3 . 2}{3} = 8,2 (m)$

Bài 4 trang 74 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Tính khoảng cách AB của một khúc sông trong Hình 4.

Giải

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta FEC$ ta có:

$\widehat{B} =\widehat{E} =90^{\circ}, \widehat{ACB} =  \widehat{FCE}$ 

Suy ra $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{EC}$, hay $\frac{AB}{18,6} =\frac{796}{34,2}$

Vậy AB = $\frac{79,6.18,6}{34,2}  \approx  43,3 m$ 

Bài 5 trang 75 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Một người dùng thước êke để đo chiều cao từ chân đến mắt người đó là 1,6m và đứng cách trục chính tòa nhà 4,8m (Hình 5). Hỏi tòa nhà cao khoảng bao nhiêu?

Giải

Ta có $\widehat{A} = \widehat{BCK}$ ( cùng phụ với góc KCA)

Lại có: KC//BH (cùng vuông góc với KB) nên $\widehat{BCK} = \widehat{CBH}$ ( hai góc so le trong)

Do đó, $\widehat{A} = \widehat{HBC}$

Tam giác AKC và tam giác BHC có:
$\widehat{AKC} = \widehat{BHC} =90^{\circ}, \widehat{A} = \widehat{HBC}$

Do đó $\Delta AKC \sim \Delta BHC \Rightarrow \frac{AK}{BH} = \frac{CK}{HC}$ hay $\frac{AK}{4,8} = \frac{4,8}{1,6} \Rightarrow AK = \frac{4,8. 4,8}{1,6} = 14,4 (m)$.  

Vậy độ cao của tòa nhà là: 14,4 + 1,6 = 16 (m)

Bài 6 trang 75 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là điểm bất kì trên cạnh AC. Kẻ MD $\perp BC (D \in BC)$

a) Chứng minh rằng $\Delta DMC \sim \Delta ABC$

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MD. Chứng minh rằng DB . DC = DE . DM

c) Đường thẳng BM cắt EC tại K. Chứng minh rằng $\widehat{EKA} = \widehat{EBC}$

Giải

a) Tam giác DMC và tam giác ABC có:

$\widehat{MDC} = \widehat{BAC} = 90^{\circ}, \widehat{ACB}$ chung

$\Rightarrow \Delta DMC \sim \Delta ABC$

b) Tam giác DBE và tam giác DMC có:

$\widehat{BDE} =\widehat{MDC} = 90^{\circ}, \widehat{DEB} = \widehat{DCM}$ cùng phụ với góc ABC)

Suy ra $\Delta DBE \sim \Delta DMC$ nên $\frac{DB}{DM}=\frac{DE}{DC} \Rightarrow DB . DC = DE . DM$

c) Tam giác EBC có hai đường cao ED và CA cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác EBC. Do đó BK $\perp$ EC

Tam giác EAC và tam giác EKB có:

$\widehat{EAC} = \widehat{EKB} = 90^{\circ}, \widehat{BEC}$ chung

$\Rightarrow \Delta EAC \sim \Delta EKB$ nên $\frac{EA}{EK}=\frac{EC}{EB}$ hay $\frac{EA}{EC}=\frac{EK}{EB}$

Tam giác EAK và tam giác ECB có:

$\frac{EA}{EC}=\frac{EK}{EB}, \widehat{BEC}$ chung

Do đó $\Delta EAK \sim \Delta ECB$ nên $\widehat{EKA} = \widehat{EBC}$

Bài 7 trang 75 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) AD. BH = AC .BD

b) HA . HD = HB . HE = HC . HF

c) $BC^{2}$ = BE . BH + CF . CH

Giải

a) Tam giác ADC và tam giác BDH có:

$\widehat{ADC} = \widehat{BDH} = 90^{\circ}, \widehat{DAC} = \widehat{HBD}$ (cùng phụ với góc ECB). Do đó, $\Delta ADC \sim \Delta BDH$ 

$\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BH}$ nên AD.BH = AC . BD

b) Tam giác HEA và tam giác HDB có:

$\widehat{HEA} = \widehat{HDB} = 90^{\circ}, \widehat{AHE} = \widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HEA \sim \Delta HDB \Rightarrow \frac{HE}{HD} =\frac{HA}{HB}$ nên HA . HD = HB . HE

Tam giác HFA và tam giác HDC có:

$\widehat{HFA} = \widehat{HDC} = 90^{\circ}, \widehat{FHA} = \widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HFA \sim \Delta HDC$ 

$\Rightarrow \frac{HF}{HD} = \frac{HA}{HC}$ nên HA.HD = HF . HC

Vậy HA . HD = HB. HE = HC . HF

c) Tam giác BCE và tam giác BHD có:

$\widehat{BEC} = \widehat{BDH} = 90^{\circ}, \widehat{HBD}$ chung

Do đó, $\Delta BCE \sim \Delta BHD$ 

$\Rightarrow \frac{BC}{BH} = \frac{BE}{BD}$ nên BC . BD = BE . BH

Tam giác BCF và tam giác HCD có:

$\widehat{BFC} = \widehat{CDH} = 90^{\circ}, \widehat{HCD}$ chung

Do đó, $\Delta BCF \sim \Delta HCD$

$\Rightarrow \frac{BC}{CH} = \frac{CF}{CD}$ nên BC . CD = CF . CH

Ta có: BE . BH + CF . CH = BC . CD + BC . BD = BC ( BD + CD) = $BC^{2}$

Bài 8 trang 75 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng $\Delta ANQ \sim \Delta ABC$.

b) Đường thẳng QN cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng FB.FC = FQ.FN.

c) Trên đoạn HB lấy điểm I sao cho $\widehat{AIC} = 90^{0}$. Chứng minh rằng $AI^{2} = AN.AC$.

d) Trên đoạn HC lấy điểm K sao cho $\widehat {AKB} = 90^{0}$. Chứng minh rằng $\Delta AIK$ cân.

Giải

a) Ta có $\Delta ANB \sim \Delta AQC$. Suy ra $\frac{AN}{AQ} = \frac{AB}{AC}$ hay $\frac{AN}{AB} = \frac{AQ}{AC}$

Xét $\Delta ANQ$ và $\Delta ABC$ có $\frac{AN}{AB}= \frac{AQ}{AC}$ và $\widehat{CAB}$ chung

$\Rightarrow \Delta ANQ \sim \Delta ABC$

b) Xét $\Delta FQB$ và $\Delta FCN$ có $\widehat{CFN}$ chung và $\widehat{FQB} = \widehat{FCN}(= \widehat{AQN})$

Suy ra $\Delta FQB \sim \Delta FCN \Rightarrow \frac{FQ}{FC}= \frac{FB}{FN}$ hay FB . FC = FQ. FN

c)  $\Delta ANI \sim \Delta AIC$ nên $\frac{AN}{AI}= \frac{AI}{AC} \Rightarrow AI^{2} = AN . AC$

d) Chưng minh $\Delta AQK \sim \Delta AKB$ nên $\frac{AK}{AB}= \frac{AQ}{AK} \Rightarrow AK^{2} = AB . AQ$ mà AN. AC = AQ. AB và $AI^{2} = AN . AC$ nên AI = AK 

Vậy $\Delta AIK$ cân tại A

Bài 9 trang 75 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH a) Chứng minh rằng $AB^{2} = BH . BC$

b) Chứng minh rằng $AH^{2} = BH . CH$

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D ( AD < AC ). Đường thẳng qua H và song song với AC cắt AB, BD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng $\frac{MN}{MH} = \frac{AD}{AC}$.

d) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh rằng $\widehat {BEH} = \widehat {BAH}$.

Giải

a) $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ nên $\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AH}$, do đó $AH^{2} = BH . BC$

b) Chứng minh được $\Delta HBA \sim \Delta HAC$ nên $\frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH}$, do đó $AH^{2} = BH . CH$

c) Tam giác ABD có MN//AD nên $\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}$ (1)

Tam giác ABC có MH//AC nên $\frac{MH}{AC} = \frac{BM}{BA}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{MN}{AD} = \frac{MH}{AC}$ hay $\frac{MN}{MH} = \frac{AD}{AC}$

d) $\Delta ABD \sim \Delta EBA$ nên $\frac{AB}{BE} = \frac{BD}{AB}$, do đó $AH^{2} = BE . BD$

Mà $AB^{2} = BH . BC$ nên BE . BD = BH . BC, hay $\frac{BH}{BD} = \frac{BE}{BC}$

Xét tam giác BEH và tam giác BCD ta có:

$\frac{BH}{BD} = \frac{BE}{BC}$ góc DBC chung. Do đó, $\Delta BEH \sim \Delta BCD$

Suy ra $\widehat{BEH} = \widehat{BCD}$. Mà $\widehat{BAH} = \widehat{BCD}$ (cùng phụ với góc HAC). Vậy $\widehat{BEH} = \widehat{BAH}$