Bài 1 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh

I Là trung điểm của MN.

Giải

a) Xét $\Delta ABC$,

ta có: MA = MB và NA=NC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra MN // BC, suy ra BMNC là hình thang.

b) Xét $\Delta ABE$, ta có: MA = MB và MI // BE, nên IA=IE. 

Suy ra MI là đường trung bình của $\Delta ABE$ suy ra MI = $\frac{BE}{2}$

Xét $\Delta AEC$, ta có: NA = NC và IN // EC, nên IA = IE. 

Suy ra IN là đường trung bình của $\Delta AEC$ suy ra IN = $\frac{EC}{2}$

Ta lại có BE = EC, suy ra MI = IN. Vậy I là trung điểm của MN.

Bài 2 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM (M - BC). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại E. Chứng minh:

a) EF=FB

b) AE= $\frac{1}{3}$-AB

c) CE= 4EI

Giải

a) Xét $\Delta BCE$

ta có: MB=MC và MF // CE $\Rightarrow$ EF=FB.

b) Xét $\Delta  AMF$

ta có: IA = IM và EI // ME $\Rightarrow$ EA=EF. 

$\Rightarrow$ EA = EF = FB 

Vậy AE = $\frac{1}{3}$AB.

c) Ta có MF là đường trung bình của $\Delta BCE$ nên CE = 2MF. 

Ta có IE là đường trung bình của $\Delta AMF$ nên MF = 2IE. Suy ra CE =4EI.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho làn giáo ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau lại G ($M \in AC, N \in AB$). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, CC. Chứng minh:

a) MN // DE;

b) ND // ME.

Giải

a) Xét $\Delta ABC$, ta có: MA=MC và NA=NB, nên MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ suy ra MN / BC (1)

Xét $\Delta GBC$, ta có: BD = DG và CE=EG,

nên DE là đường trung bình của$\Delta GBC$,

suy ra DE // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // DE.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có: BD=DG và NB=NA, nên ND là đường trung bình của

$\Delta ABG$, suy ra ND // AG. (3)

Xét $\Delta ACG$, ta có: MC = MA và CE = EG, nên ME là đường trung bình của

$\Delta ACG$, suy ra ME // AG. (4)

Từ (3) và (4) suy ra ND / ME.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD, AC. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Giải

Xét $\Delta ABD$, ta có: MA = MD và PD = PB, nên MP là đường trung bình của $\Delta ABD$, suy ra MP // AB. Mà AB // CD, suy ra MP // CD.

Xét $\Delta ADC$ , ta có: MA = MD và QA = QC, nên MQ là đường trung bình của AADC, suy ra MQ // CD.

Xét $\Delta  BDC$ , ta có: PB = PD và NB = NC, nên PN là đường trung bình của $\Delta  BDC$, suy ra PN // CD.

Qua điểm $M \notin  CD$ có: MP // CD và MQ // CD, suy ra M, P, Q thẳng hàng.

Qua điểm $P \notin  CD$ có: MP // CD và PN // CD, suy ra M, P, N thẳng hàng.

Vậy bổn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

Bài 5 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC

a) Chứng minh tứ giác AMNB là hình thang.

b) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF=MI. Chứng minh EF // AB.

Giải

a) Xét $\Delta ABC$ , ta có: MA = MC và NB = NC, nên MN là đường trung bình của AABC, suy ra

MN // AB, suy ra AMNB là hình thang.

b) Xét $\Delta IEF$ , ta có: NE = NI và MF = MI, nên MN là đường trung bình của AIEF, suy ra

MN // EF.Mà MN // AB, suy ra EF // AB.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // QO ($M \in OP$), IN // PO(N = QC). Chứng minh:

a) Tam giác IMN cần tại I.

b) OI là đường trung trực của MN.

Giải

a) Xét AOPQ, ta có: IP = IQ và IM // QO, nên MO=MP.

Xét $\Delta  OPQ$ , ta có: IP = IQ và MO = MP, nên IM là đường trung bình của AOPQ, suy ra IM =$\frac{1}{2}$ QO

Tương tự, IN là đường trung bình của $\Delta OPQ$, suy ra IN = $\frac{1}{2}$ PO. 

Mà QO = PO, suy ra IM = IN, suy ra $\Delta IMN$ cân tại I.

b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.

Xét $\Delta OPQ$, ta có: MO = MP và NO = NQ, nên MN là đường trung bình của $\Delta OPQ$, suy ra MN // PQ. (1)

$\Delta OPQ$ cân tại O có OI là đường trung tuyến, suy ra OI cũng là đường cao của

$\Delta ΟΡQ$.

Suy ra OI $\perp$ PQ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra MN $\perp$ OI tại K hay MN $\perp$ IK 

Mà $ \Delta IMN$ cân tại I, nên K cũng là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN