CHƯƠNG 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG 

HĐKP1:

Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) $(m^{2})$.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab $(m^{2})$.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a $(m^{2})$.

Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a $(m^{2})$.

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5

   = 5.(3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)

   = 5.10,5

   = 52,5 $(m^{2})$.

Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.

Chiều dài của nền nhà là:

b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).

Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) $m^{2})$.

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 $(m^{2})$.

=> Kết luận:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của những đa thức. Mỗi đa thức này gọi là một nhân tử của đa thức đã cho.

Ví dụ 1: (SGK – tr23)

Thực hành 1:

a) $P = 6x - 2x^{3}$

       $= 2x.3 - 2x.x^{2}$

       $= 2x(3 - x^{2})$.

       $= 2x.(3 + x).(3 - x)$ 

b) $Q = 5x^{3}-15x^{2}y$

       $= 5x^{2}.x-5x^{2}.3y$

       $= 5x^{2}(x-3y)$.

c) $R = 3x^{3}y^{3}- 6xy^{3}z + xy$

       $= xy.3x^{2}y^{2}-xy.6y^{2}z + xy.1$

       $= xy.(3x^{2}y^{2}-6y^{2}z + 1)$.

2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

HĐKP2.

a) $4x^{2}-9=(2x)^{2}-(3)^{2}=(2x-3)(2x+3)$

b) $x^{2}y^{2}-\frac{1}{4}y^{2}=(xy)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}=(xy-\frac{1}{2}y)( xy+\frac{1}{2}y)$

Ví dụ 2. (SGK-tr24)

Thực hành 2.

a) $9x^{2}-16 = (3x)^{2}- 4^{2}$

                  = (3x – 4)(3x + 4).

b) $4x^{2}-12xy + 9y^{2}$

= $(2x)^{2}- 2.2x.3y + (3y)^{2}$

= $(2x-3y)^{2}$.

c) $t^{3}-8 = t^{3}-2^{3}$

              $= (t-2)(t^{2} + t.2 + 2^{2})$

             $= (t-2)(t^{2} + 2t + 4)$.

d) $2ax^{3}y^{3} + 2a$

$= 2a.(x^{3}y^{3} + 1)$

$= 2a.[(xy)^{3} + 1^{3}]$

$= 2a(xy + 1)[(xy)^{2}-xy.1 + 1^{2}]$

$= 2a(xy + 1)(x^{2}y^{2}-xy + 1)$.

Vận dụng 1

Ta có: $2x^{3}-18x = 2x(x^{2}-9)$

                           $= 2x(x^{2}- 3^{2})$

                           $= 2x(x- 3)(x + 3)$

Vậy hình hộp chữ nhật có thể tích $2x^{3}-18x$ (với x > 3) sẽ có độ dài ba kích thước là 2x, x – 3 và x + 3.

Vận dụng 2

Ta có: $99^{3}-99 = 99.(99^{2}-1)$

                          $= 99.(99^{2}-1^{2})$

                          $= 99.(99 - 1).(99 + 1)$

                          = 99.98.100

Do đó $99^{3}-99$ chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: $n^{3}-n = n(n^{2}-1)$

                     $= n.(n -1).(n + 1)$

Do đó $n^{3}-n$ chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

3. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ 

HĐKP 3.

$a^{2} + ab + 2a + 2b$

$= (a^{2} + ab) + (2a + 2b)$

$= a(a + b) + 2(a + b)$

$= (a + b)(a + 2)$.

Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:

$a^{2} + ab + 2a + 2b$

$= (a^{2} + 2a) + (ab + 2b)$

= a(a + 2) + b(a + 2)

= (a + 2)(a + b).

Ví dụ 3: SGK – tr24

Thực hành 3. 

a) $a^{3}-a^{2}b + a-b$

$= (a^{3}-a^{2}b) + (a-b)$

$= a^{2}(a-b) + (a-b)$

$= (a-b)(a^{2} + 1)$.

b) $x^{2}-y^{2} + 2y - 1$

$= x^{2}-(y^{2}-2y + 1)$

$= x^{2}-(y-1)^{2}$

= (x + y – 1).[x – (y – 1)]

= (x + y – 1)(x – y + 1).

Vận dụng 3. 

Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: $a^{2} (m^{2})$.

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a $(m^{2})$.

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab $(m^{2})$.

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b $(m^{2})$.

Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:

$S = a^{2} + a + ab + b = (a^{2} + a) + (ab + b)$

                               = a(a + 1) + b(a + 1)

                               = (a + 1)(a + b) $(m^{2})$.

Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m), với các tấm pin đã cho theo thứ tự từ trái qua phải được đặt lần lượt các vị trí (1), (2), (3) và (4) theo sơ đồ như hình bên.

Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:

+ Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).

+ Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).

+ Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 $(m^{2})$.