BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

Bài 1: Cho tam giác ABC có: …

a) Tính .

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

Giải rút gọn:

a) Xét △ABC:

b) Ta có: (). Hay AC < BC < AB.

Bài 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140

Giải rút gọn:

△ABO có OA = AB = BO => △ABO đều => x = 60°

△OAC có OA = OC => △OAC cân tại O.

Do đó .

Ta có: là góc ngoài tại đỉnh O của △OAC nên hay x = 2y.

=> y = 30^o.

Bài 3: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ 2 đi từ B đến A. Theo em, đường nào đi dài hơn, vì sao?

Giải rút gọn:

Xét △ABC, ta có: AB < AC + CB.

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh AI = MK

Giải rút gọn:

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

AB = MN (gt); BC = NP (gt); CA = PM (gt).

=> ∆ABC = ∆MNP (c.c.c) => (góc tương ứng)

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP mà BC = NP => CI = PK.

+ Xét ∆ACI và ∆MPK có:

AC = MP (gt); ; CI = PK (cmt).

=> ∆ACI = ∆MPK (c.g.c).

=> AI = MK (cạnh tương ứng).

Bài 5: Cho hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa 2 điểm M, N. Chứng minh: 

a. Nếu OM = ON thì AM//BN

b. Nếu AM // BN thì OM = ON

Giải rút gọn:

a) Xét ∆AOM và ∆BON có:

AO = BO (gt); ; OM = ON (gt).

=> ∆AOM = ∆BON (c.g.c).

=> (góc tương ứng) mà hai góc này ở vị trí so le trong 

=> AM // BN.

b) Do AM // BN nên (2 góc so le trong).

Xét ∆AOM và ∆BON có:

(cmt); AO = BO ; (2 góc đối đỉnh).

=> ∆AOM = ∆BON (g.c.g).

=> OM = ON (cạnh tương ứng).

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có = 70⁰. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a. Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC

b. Chứng minh BD = CE

c. Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC

Giải rút gọn:

a) △ABC cân tại A nên AB = AC và .

Trong △ABC:

b) Xét ∆ADB vuông tại D và ∆AEC vuông tại E có:

AB = AC (cmt); chung

=> ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn).

=> BD = CE;  AD = AE (cạnh tương ứng)

c) Xét ∆AEH vuông tại E và ∆ADH vuông tại D có:

AE = AD (cmt); AH chung.

=> ∆AEH = ∆ADH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=>  (góc tương ứng).

Do đó AH là tia phân giác của

Bài 7: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K. Chứng minh AI//EK.

Giải rút gọn:

△ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I nên I là trực tâm của △ABC.

=> AI ⊥ BC.

△ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K nên K là trực tâm của △ECD.

=> EK ⊥ CD.

Do B, C, D thẳng hàng nên AI ⊥ BC => AI ⊥ BD.

Mà EK ⊥ CD nên EK ⊥ BD => AI // EK.

Bài 8: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144). Chứng minh:

a. ΔOMA = ΔOMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP

b. O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP 

Giải rút gọn:

a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của △ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

OM chung; OA = OB (cmt).

=> ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> (góc tương ứng)

Do đó MO là tia phân giác của hay MO là tia phân giác của .

b)

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

OP chung; OA = OC (cmt).

=> ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> (góc tương ứng)

Do đó PO là tia phân giác của hay PO là tia phân giác của .

+ Trong △NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của và .

Mà ba đường phân giác cùng đi qua O nên O là giao điểm ba đường phân giác của △MNP.

Bài 9: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Giải rút gọn:

a)

Gọi K là trung điểm của BC.

Do G là trọng tâm của △ABC nên A, G, K thẳng hàng (1).

Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.

Do △ABC cân tại A nên AB = AC và

+ Xét ∆AKB và ∆AKC có:

AK chung; BK = CK (cmt); AB = AC (cmt).

=> ∆AKB = ∆AKC (c - c - c) => (góc tương ứng)

Mà nên => AK ⊥ BC.

+ H là trực tâm của △ABC nên AH ⊥ BC.

Ta có AK ⊥ BC và AH ⊥ BC nên A, H, K thẳng hàng (2).

+ O là giao điểm ba đường trung trực của △ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OKB và ∆OKC có:

OK chung; OB = OC (cmt); BK = CK (cmt).

=> ∆OKB = ∆OKC (c - c - c) =>  

Mà nên => OK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, O, K thẳng hàng (3).

Do BI là tia phân giác của nên .

Do CI là tia phân giác của nên .

Mà nên

Xét △IBC có: => △IBC cân tại I. Do đó IB = IC.

Xét ∆IBK và ∆ICK có:

IB = IC (cmt); ; BK = CK (cmt).

=> ∆IBK = ∆ICK (c - g - c).

=> mà nên => IK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng khi △ABC cân tại A.

b)

Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC.

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của nên AK là đường phân giác của .

Do đó

+ Xét ∆AKB và ∆AKC cùng vuông tại K có:

; AK chung.

=> ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

=> AB = AC (cạnh tương ứng).

=> △ABC cân tại A.

Bài 10: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A. Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Giải rút gọn:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của △ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của △ABC.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại một điểm.

Điểm đó chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ:

Bài 11: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Khi đó

A. AM = 2GM             B. AM = 2AG         C. GA = 3GM         D. GA = 2GM

Giải rút gọn:

Đáp án D. GA = 2GM

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có = 40^∘. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó

A. OA = OB = AB 

B. OA = OB = OC

C. OB = OC = BC.      

D. OC = OA = AC

Giải rút gọn:

Đáp án B. OA = OB = OC

Bài 13: Cho tam giác ABC có BC > AC, I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B. Khi đó…

Giải rút gọn:

Đáp án A.

Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Hai đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Khi đó…

Giải rút gọn:

Đáp án C.