BÀI 2: QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

Khởi động

Câu hỏi: Hình 15 minh họa vị trí của ba khu du lịch Yên Tử, Tuần Châu và Vân Đồn (ở tỉnh Quảng Ninh). Trong hai vị trí Yên Tử và Tuần Châu, vị trí nào gần Vân Đồn hơn?

Giải rút gọn:

Vị trí gần Vân Đồn hơn là Tuần Châu.

I. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác 

1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn 

Bài 1: Quan sát tam giác ABC ở Hình 17

a. So sánh hai AB và AC

b. So sánh góc B (đối diện với cạnh AB)

Giải rút gọn:

a. AB < AC (3 < 5)

b. >

Bài 2: Cho tam giác MNP có MN = 4cm, NP = 5cm, MP = 6cm. Tìm góc nhỏ nhất, góc lớn nhất

Giải rút gọn:

là góc lớn nhất (Vì là góc đối diện cạnh MP)

là góc nhỏ nhất (Vì là góc đối diện cạnh MN)

2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn

Bài 3: Quan sát tam giác ABC ở Hình 19

a. So sánh hai góc B và C

b. So sánh cạnh AB (đối điện với góc C) và cạnh AC (đối diện với góc B)

Giải rút gọn:

a. >

b. AB < AC (vì >

Bài 4: 

a. Cho tam giác DEG có góc E là góc tù. So sánh DE và DG

b. Cho tam tác MNP có = 56⁰, = 65⁰. Tìm cạnh nhỏ nhất, cạnh lớn nhất của tam giác MNP

Giải rút gọn:

a. DE < DG (do DG là cạnh đối diện với góc tù)

b. Xét △MNP có: 

Vì  

Vậy NP là cạnh nhỏ nhất; MP là cạnh lớn nhất

II. Bất đẳng thức tam giác 

Bài 1: Bạn An có hai cong đường đi từ nhà đến trường. Đường thứ nhất là đường đi thẳng từ nhà đến đường, đường thứ hai là đi từ nhà đến hiệu sách rồi từ hiệu sách đến trường. Theo em bạn An đi từ nhà đến trường theo đường nào sẽ gần hơn?

Giải rút gọn:

Bạn An đi thẳng từ nhà đến trường sẽ gần hơn.

Bài 2: Bạn Thảo cho rằng tam giác ABC trong hình 21 có AB=3cm, BC=2cm, AC=4cm

a. Hãy sử dụng thước thẳng (có chia đơn vị) để kiểm tra lại các số đo độ dài ba cạnh của tam giác ABC mà bạn Thảo đã nói

b. So sánh AB + BC và AC

Giải rút gọn:

a. Học sinh dùng thước và tự kiểm tra độ dài ba cạnh tam giác.

b. AB + BC > AC (3 + 2 = 5 > 4)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm, BC=4cm. So sánh 2 cạnh AC và AB

Giải rút gọn:

Xét △ABC, ta có:

+) AB + BC > AC (bất đẳng thức tam giác) => 6 > AC   

+) BC – AB < AC (hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại)=> 2 < AC 

=> 2 < AC < 6 => AC > AB

III. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác MNP có MN=6cm, NP=8cm, PM=7cm. Tìm góc nhỏ nhất, góc lớn nhất của tam giác MNP.

Giải rút gọn:

Góc nhỏ nhất: ( là góc đối diện MN)

Góc lớn nhất: ( là góc đối diện NP)

Bài 2: Bạn Hoa đi học từ nhà đến trường bằng cách đi xe buýt dọc theo đường Lê Quý Đôn và xuống xe tại một trong hai điểm dừng N hoặc P, rồi từ đó đi bộ đến trường T. Bạn Hoa nên xuống ở điểm dừng nào để quãng đường đi bộ đến trường ngắn hơn?

Giải rút gọn:

Ta có: TP > TN (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)

Vậy bạn Hoa nên xuống ở điểm dừng N để quãng đường đi bộ đến trường ngắn hơn.

Bài 3: Theo http://vietnamnet.vn ngày 01/10/2020, sóng 4G có thể phủ đến bán kính 100km. Người ta đặt một trạm phát sóng 4G tại vị trí A. Có một đảo nhỏ (tại vị trí B) chưa biết khoảng cách từ đảo đó đến một khách sạn (tại vị trí C) là 75km và khách sạn đó cách vị trí A là 20km. Sóng 4G của trạm phát sóng tại vị trí A có thể phủ đến đảo đó được không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Ta có BC = 75km, AC = 20km

=> AB < 75km + 20km = 95km

Vậy sóng 4G của trạm phát sóng có thể phủ đến đảo đó được.

Bài 4: Có hay không một tam giác mà độ dài ba cạnh của tam giác đó được cho bởi các độ dài trong mỗi trường hợp sau?

a. 8cm, 5cm, 3cm

b. 12cm, 6cm, 6cm

c. 15cm, 9cm, 4cm

Giải rút gọn:

a) Ta có:  

8cm + 5cm > 3cm (thỏa mãn BĐT tam giác)

8cm – 5cm = 3cm (không thỏa mãn BĐT tam giác)

=> Không có tam giác nào tồn tại

b) Ta có: 

12cm + 6cm > 6cm (thỏa mãn BĐT tam giác)

12cm – 6cm = 6cm (không thỏa mãn BĐT tam giác)

=> Không có tam giác nào tồn tại

c) Ta có:

15cm + 9cm > 4cm (thỏa mãn BĐT tam giác)

15cm – 9cm > 4cm (không thỏa mãn BĐT tam giác)

=> Không có tam giác nào tồn tại

Bài 5: Con mèo của bạn Huệ bị mắc kẹt trên gờ tường cao 4m. Bác bảo vệ sử dụng một cái thang để đưa mèo xuống giúp bạn Huệ. Bác đặt thang dựa vào gờ tường (Hình 24a), khoảng cách từ chân thang đến điểm chạm vào gờ tường là AB=4,5cm. Hình 24b mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường trong Hình 24a. Bạn Huệ khẳng định chân thang cách chân tường BH = 0,5cm. Khẳng định của bạn Huệ có đúng không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Khẳng định của bạn Huệ không đúng. 

Vì AH + BH > AB (bất đẳng thức tam giác)

Bài 6: Người ta cần làm đường dây điện từ một trong hai trạm biến áp A, B đến trạm biến áp C trên đảo (Hình 25).

a) Đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp nào đến trạm biến áp C sẽ ngắn hơn.

b) Bạn Bình ước lượng: Nếu làm cả hai đường dây điện từ A và B đến C thì tổng độ dài đường dây khoảng 6 200 m. Bạn Bình ước lượng có đúng không?

Giải rút gọn:

a) Ta có: = 45^∘ < = 60^∘ => AC < BC 

Vậy đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp A đến trạm biến áp C sẽ ngắn hơn.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC có: AC + BC > AB = 6230m.

Nên bạn Bình ước lượng là sai. 

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AC lần lượt lấy các điểm D, E, G sao cho D nằm giữa A và E; E nằm giữa D và G; G nằm giữa E và C (Hình 26). Sắp xếp các đoạn thẳng BA, BD, BE, BG, BC theo thứ tự tăng dần. Giải thích vì sao?

Giải rút gọn:

+) △ABD có là góc tù => BA < BD và là góc nhọn 

Do là góc nhọn và (hai góc kề bù) =>

+) △BDE có là góc tù => BD < BE và là góc nhọn

Do là góc nhọn và (hai góc kề bù) =>

+) △BEG có là góc tù =>BE < BG và là góc nhọn 

Do là góc nhọn và (hai góc kề bù) =>

+) △BGC có là góc tù =>BG < BC 

Do là góc nhọn và (hai góc kề bù) =>

=> Đoạn thẳng theo thứ tự tăng dần là: BA, BD, BE, BG, BC