BÀI 12: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

Khởi động 

Câu hỏi: Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?

Giải rút gọn:

Ta cần xác định được giao điểm của 3 đường trung trực đi qua 3 địa điểm đó

I. Đường trung trực của tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC.

Giải rút gọn:

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác đó.

Giải rút gọn:

Xét △ABD và △ACD có: 

AB = AC (△ABC cân tại A); = (gt); AD chung

=> △ABC = △ACD (c.g.c)

=> BD = DC (cạnh tương ứng) => D là trung điểm của BC

=> AD vừa là đường phân giác vừa là đường trung trực của tam giác đó.

II. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 1: Trong hình 127, điểm O có phải là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC không?

Giải rút gọn:

O là giao điểm 3 đường trung trực của △ABC.

Bài 2: Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126) cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua 1 điểm hay không?

Giải rút gọn:

Ba đường trung trực đó có đi qua 1 điểm.

III. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm 3 đường trung trực tam giác ABC

Giải rút gọn:

Vì OA = OB = OC => O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Mà ΔABC đều => O là giao điểm của ba tia phân giác của , , .

Bài 2: Cho tam giác ABC, vẽ điểm I cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:

a. Tam giác ABC nhọn

b. Tam giác ABC vuông tại A

c. Tam giác ABC có góc A tù

Giải rút gọn:

a.

b)

c)

Bài 3: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều. 

Giải rút gọn:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB => C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

=> CA = CB.

Tương tự ta được: BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Xét △ABC có AB = BC = CA (cmt) => △ABC đều.

Bài 4: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Giải rút gọn:

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.

Do I là giao điểm ba đường phân giác của △ABC nên IM = IN = IP.

Do I là giao điểm ba đường trung trực của △ABC nên I nằm trên đường trung trực của BC, CA, AB.

=> Đường thẳng qua I, ⊥ BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

=> M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Do AI là đường phân giác của nên =

Xét ∆PAI vuông tại P và ∆NAI vuông tại N có:

AI chung; = (cmt).

=> ∆PAI = ∆NAI (cạnh huyền - góc nhọn).

=> PA = NA (cạnh tương ứng).

Mà ta có: PA = BA; NA = CA => AB = CA.

Tương tự: BA = BC => AB = BC = CA.

Xét △ABC có AB = BC = CA nên △ABC đều.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:…

Giải rút gọn:

a) Xét △ABC có: O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC.

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

=> OM ⊥ BC.

b) Xét ∆OMB và ∆OMC đều vuông tại M có:

OM chung; MB = MC (gt).

=> ∆OMB = ∆OMC (2 cạnh góc vuông).

=> = (góc tương ứng).