BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (4 tiết)

I. Hằng đẳng thức

Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Xét hai biểu thức: P = 2(x+y) và Q = 2x+2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:  a. Tại x = 1; y = - 1.  b. Tại x = 2; y = - 3

Giải nhanh:

a) P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;  Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0 => P = Q.

b) P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;  Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2. => P = Q.

Luyện tập 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh rằng: x(xy² + y) – y(x²y + x) = 0

Giải nhanh:

x(xy² + y) – y(x²y + x) = x . xy² + x . y – y . x²y – y . x= (x²y² – x²y²) + (xy – xy) 

= 0 + 0 = 0 (đpcm)

II. Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, hiệu

Hoạt động 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính: a. (a+b)(a+b)                  b. (a-b)(a-b)

Giải nhanh:

a) (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²;                   b) (a – b)(a – b) = a² – 2ab + b².

Luyện tập 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:

a)            b) (2x + y)²            c) (3 – x)²              d) (x – 4y)² 

Giải nhanh:

a)                   b) (2x + y)² = 4x² + 4xy + y²;

c) (3 – x)² = 9 – 6x + x²;                     d) (x – 4y)² = x² – 8xy + 16y².

Luyện tập 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) y² + y +                              b) y² + 49 – 14y 

Giải nhanh:

a) y² + y + = (y + )²               b) y² + 49 – 14y = (y – 7)².

Luyện tập 4 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh 49²

Giải nhanh:

2. Hiệu của hai bình phương

Hoạt động 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a, b là 2 số thực bất kì. Thực hiện phép tính: (a-b)(a+b)

Giải nhanh:

 (a – b)(a + b) = a . a + a . b – b . a + b . b = a² – b².

Luyện tập 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 9x² – 16            b) 25 – 16y² 

Giải nhanh:

a) 9x² – 16 = (3x + 4)(3x – 4);            b) 25 – 16y² = (5 + 4y)(5 – 4y).

Luyện tập 6 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:

a) (a – 3b)(a + 3b)           b) (2x + 5)(2x – 5)                    c) (4y – 1)(4y + 1)

Giải nhanh:

a) (a – 3b)(a + 3b) = a² – 9b²;              b) (2x + 5)(2x – 5) = 4x² – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1) = 16y² – 1.

Luyện tập 7 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh 48.52

Giải nhanh:

48 . 52 = (50 – 2)(50 + 2) = 50² – 2²  = 2496.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Hoạt động 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là 2 số thực bất kì, thực  hiện phép tính a) (a + b)(a + b)²      b) (a – b)(a² – 2ab + b²)

Giải nhanh:

a) (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²)= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

= a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b² = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

b) (a – b)(a² – 2ab + b²) = a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²) = a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b²= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Luyện tập 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:

a) (3 + x)²                b) (a + 2b)³            c) (2x – y)³ 

Giải nhanh:

a) (3 + x)²= 27 + 27x + 9x² + x³;                   b) (a + 2b)³ = a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³  

Luyện tập 9 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³

Giải nhanh:

8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³= (2x – 3y)³.

Luyện tập 10 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh  101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1

Giải nhanh:

101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1 = (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000.

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Hoạt động 5 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD:  Với a,b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:   a) (a + b)(a² – ab + b²)               b) (a – b)(a² + ab + b²) 

Giải nhanh:

 a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²= a³ + b³.

b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a . b² – b . a² – b . ab – b . b²= a³ – b³.

Luyện tập 11 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích: a) 27x³ + 1                b) 64 – 8y³ 

Giải nhanh:

a) 27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

b) 64 – 8y³ = 4³ – (2y)³ = (4 + 2y)(4 – 2y).

III) Bài tập

Bài 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x² + 28x + 49            b) 4a² + 20ab + 25b²

c) 16y² – 8y + 1              d) 9x² − 6xy + y²  
Giải nhanh:

a) 4x² + 28x + 49 = (2x + 7)²;             b) 4a² + 20ab + 25b² = (2a+5b) ²;

c) 16y² – 8y + 1 = (4y – 1)²;                d) 9x² − 6xy + y²  =(3x−y)²

Bài 2 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

a) a³ +12a² + 48a + 64                        b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

c) x³ – 9x² + 27x – 27                         d) 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³

Giải nhanh:

a) a³ +12a² + 48a + 64 = (a + 4)³;        b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³ = (3x+2y)³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27 = (x – 3)³;         d) 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³ = (2a−b)³

Bài 3 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

 a) 25x² – 16          b) 8x³ + 1              c) 8x³ – 125           d) 27x³ – y³ 

e) 16a² – 9b²          g) 125x³ + 27y³ 

Giải nhanh:

a) 25x² – 16 = (5x + 4)(5x – 4);                    b) 8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² – 2x + 1);

c) 8x³ – 125 = (2x – 5)(4x² + 10x + 25);       d) 27x³ – y³ = (3x – y)(9x² + 3xy + y²)

e) 16a² – 9b² = (4a + 3b)(4a – 3b); g) 125x³ + 27y³ = (5x + 3y)(25x² – 15xy + 9y²);

Bài 4 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của mỗi biểu thức: 

a) A = x² + 6x + 10 tại x = - 103          b) B = x³ + 6x² + 12x + 12 tại x= 8

Giải nhanh:

a) A = x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1.

Tại x = -103 ta có: A = (−103 + 3)² + 1 = 10 001.Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) B = x³ + 6x² + 12x + 12 = (x + 2)³ + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B: B = (8 + 2)³ + 4 =1004.

Bài 5 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x

a) C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

Giải nhanh:

a)  C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1) = [(3x – 1) – (3x + 1)]² = (–2)²= 4.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1) = 4.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)= (x³ + 3³) – (x³ – 2³)  = 35.

Vậy biểu thức E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

= [(2x)³ – 1³]– 8(x³ + 2³) = (8x³ – 1) – 8(x³ + 8) = – 65.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 6 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh: (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 0,24

Giải nhanh:

 (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 0,24 = (0,76 + 0,24)³ – 3 . 0,76 . 0,24 . (0,76 + 0,24) + 3 . 0,76 . 0,24 = 1³ – 3 . 0,76 . 0,24 . 1 + 3 . 0,76 . 0,24