BÀI 3. HÌNH THANG CÂN (2 tiết)

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 101 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD ở Hình 22 có song song với nhau hay không.

Giải nhanh:

// .

Hoạt động 2 trang 101 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hai góc C và D cùng kề với đáy CD của hình thang ABCD ở Hình 23. Cho biết hai góc C và D có bằng nhau hay không.

Giải nhanh:

- Hai góc và bằng nhau.

II. Tính chất

Hoạt động 3 trang 102 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD, E là giao điểm của AD và BC (Hình 25).

a) So sánh các cặp góc: và : và .

b) So sánh các cặp đoạn thẳng: EA và EB; ED và EC. Từ đó, hãy so sánh AD và BC.

c) Hai tam giác ADC và BCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh AC và BD.

Giải nhanh:

a) là hình thang cân => và (1)

Do => ; Có:

=> (2)

Có: (3)

Từ (1)(2)(3) =>

b) có: => cân tại => .

Có: ; Mà và => .

c) Xét và có: ; ; chung

=> (c.g.c)=>

Luyện tập 1 trang 102 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB//CD. Chứng minh

Giải nhanh:

Ta có: là hình thang cân => và

Xét và có: chung;

=> (c.c.c) => .

III. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 4 trang 102 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quan sát hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Kẻ BE song song với AC (E thuộc đường thẳng CD) (Hình 27).

a) Hai tam giác ABC và ECB có bằng nhau hay không?

b) So sánh các cặp góc:

c) Hai tam giác ACD và BDC có bằng nhau hay không? Hãy so sánh

d) ABCD có phải là hình thang cân hay không?

Giải nhanh:

a) => ; =>  

Xét và có: chung;

=> (g.c.g)

b) Vì (g.c.g) => ; Mà

=> => cân tại =>

Có => (đồng vị).

c) Có: và =>

Xét và có: chung; ; (gt)

=> (c.g.c) =>

d) Hình thang có  => Hình thang là hình thang cân.

Luyện tập 2 trang 103 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một ô cửa số có dạng hình chữ nhật với chiêu dài là 120 cm và chiêu rộng là 80 cm. Người ta mở rộng ô cửa số đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng.

Giải nhanh:

Xét và có: ;

=> (c.g.c) =>

Xét tứ giác có: nên là hình thang. Mà  

=> hình thang là hình thang cân.

Có: cm=> cm

Diện tích cửa sổ sau khi mở rộng:  

IV. Bài tập

Bài 1 trang 103 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).Chứng minh:

a)    b)    c) là đường trung trực của và

Giải nhanh:

a) Xét và có :

=> => hay .

Xét và có :

=> =>

b) cXét và có :

=> =>

c) c+) Xét có : => là tam giác cân.

Lại có : (gt) => là đường cao và là đường trung tuyến của

=> là đường trung trực của .

+) Tương tự ta có là trung trực của .

là đường trung trực của và .

Bài 2 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Giải nhanh:

a) Do là các tam giác đều nên

=> thẳng hàng.

b) là tam giác đều => , mà hai góc ở vị trí so le trong. => => Tứ giác là hình thang.

Lại có, => Tứ giác là hình thang cân.

c)

Gọi => vuông tại . 

hay => =>

=> (đvdt).

Bài 3 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = NB < AB. Chứng minh tứ giác MNCD là hình thang cân.

Giải nhanh:

Do là hình chữ nhật =>

Xét và có :

=> (c.g.c)  => .

Ta có : =>

+) Tứ giác có => là hình thang

+) Lại có : => Hình thang là hình thang cân.

Bài 4 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Giải nhanh:

+) => =>

+) =>

+) Xét tứ giác có :

Hay =>

Mà nên => mà hai góc này ở vị trí đồng vị 

=> => là hình thang.Lại có (cmt) 

Vậy hình thang là hình thang cân.

Bài 5 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (Hình 32) khi đây nước có đạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC). H là hình chiếu của D trên đường thắng AC.

a) Chứng minh các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều.

b) Tính độ dài của DH, AC.

c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.

Giải nhanh:

a) Ta có : ; (gt) ; ;

+) (1)

+) => (2)

Từ (1)(2) => là tam giác cân có 1 góc bằng => là tam giác đều.

Tương tự với , ta chứng minh được là các tam giác đều.

b) +) Có : ; =>

+) có là đường cao =>

Ta có vuông tại . Áp dụng định lí Pytagore có :

Hay => m

c) Diện tích mặt cắt đứng