BÀI 2: CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN (4 tiết)

I. Cộng hai đa thức.

Hoạt động 1 trang 11 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y²; Q  x² – 2xy + y²

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Giải nhanh:

a) P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) P + Q = 2x² + 2y².

Luyện tập 1 trang 11 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính tổng của hai đa thức: 

M = x³ + y³ và N = x³ – y³

Giải nhanh:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³)= x³ + y³ + x³ – y³= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

II. Trừ hai đa thức

Hoạt động 2 trang 12 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y²

a) Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính hiệu P - Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Giải nhanh:

a) P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) P – Q = 4xy.

Luyện tập 2 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với 3 đa thức A,B,C trong ví dụ 3, hãy tính:   a. B-C             b. (B-C)+A

Giải nhanh:

A = x² – 2xy + y²; B = 2x² – y²; C = x² – 3xy.

a) B – C = (2x² – y²) – (x² – 3xy) = 2x² – y² – x² + 3xy = x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x² – 2xy + y²) = x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²= 2x² + xy.

III. Nhân hai đa thức

1) Nhân hai đơn thức

Hoạt động 3 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a. Tính tích: 3x² . 8x⁴ 

b. Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Giải nhanh:

a) 3x² . 8x⁴ = (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc:

+) Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

+) Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Luyện tập 3 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính tích của hai đơn thức: x³y⁷ . (−2x⁵y³)

Giải nhanh:

x³y⁷ . (−2x⁵y³) = −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³) = −2x⁸y¹⁰.

2) Nhân đơn thức với đa thức:

Hoạt động 4 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a. Tính tích: 11x³ . (x² – x + 1) 

b. Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Giải nhanh:

a) 11x³ . (x² – x + 1) = 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1 = 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Luyện tập 4 trang 14 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính tích:

Giải nhanh:

  =

3) Nhân hai đa thức:

Hoạt động 5 trang 14 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a. Tính tích: (x + 1)(x² – x + 1)

b. Nêu quy tắc nhân hai đa thức trong trường hợp một biến.

Giải nhanh:

a) (x + 1)(x² – x + 1) = x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1 = x³ – x² + x + x² – x + 1

= x³ + (x² – x²) + (x – x) + 1= x³ + 1.

b) Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Luyện tập 5 trang 14 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính (x-y)(x-y)

Giải nhanh:

 (x – y)(x – y) = x . x – x . y – y . x + y . y = x² – 2xy + y².

IV. Chia đa thức cho đơn thức

1) Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

Hoạt động 6 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính tích: 9x⁵y⁴ . 2x⁴y² 

Giải nhanh:

9x⁵y⁴ . 2x⁴y² = (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²) = 18x⁹y⁶.

Luyện tập 6 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³). Tính giá trị của biểu thức P tại x= -0,5; y= -2

Giải nhanh:

P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³) = (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³) = 3xy².

- P tại x = −0,5; y = −2 là:  3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

2) Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức:

Hoạt động 7 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính tích (3xy).(x+y)

Giải nhanh:

 (3xy)(x + y) = 3xy . x + 3xy . y = 3x²y + 3xy².

Luyện tập 7 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tìm thương trong phép chia đa thức: 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³

Giải nhanh:

 (12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³) = 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.

V) Bài tập

Bài 1 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)                 b) (x + y)(x² + 2xy + y²)

Giải nhanh:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x) = (–xy) . (–2x²y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x³y² – 3x²y² + 7x²y.

b) (x + y)(x² + 2xy + y²) = x . x² + x . 2xy + x . y² + y . x² + y . 2xy + y . y²

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Bài 2 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y)                 b) (x²y²+x³y²−x⁵y⁴) :

Giải nhanh:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y) = 3x³y⁶.              b) (x²y²+x³y²−x⁵y⁴) :

Bài 3 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CD: Rút gọn biểu thức

a) (x – y)(x² + xy + y²)                                 b) (x + y)(x² - xy + y²)

c)

Giải nhanh:

a) (x – y)(x² + xy + y²) = x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) – y³ = x³ – y³.

b) (x + y)(x² - xy + y²) = x³ - x²y + x²y + xy²– xy² + y³ = x³ + y³.

c)  

d) (x + y) (x - y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) = x² – xy + y.x −y² + y² − x² = 0

Bài 4 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức a) P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1) khi x = 1,2;  x + y = 6,2

b. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

Giải nhanh:

a) P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1) = 5x² – 2xy + y² – x² – y² – 4x² + 5xy – 1 = 3xy – 1.

Ta có: x = 1,2;  x + y = 6,2 suy ra y = 5.

P khi x = 1,2 và y = 5 là: 3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

= (2x³ – 10x²+ 8x + 3x²– 15x + 12) –(2x³ – x² – 10x – 6x² + 3x + 30)

= (2x³ – 2x³) +(7x² – 7x²) +(7x – 7x) + (12– 30) = –8.

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a) Chứng minh rằng biểu thức P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Giải nhanh:

a) P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9) = (10x – 5x²) – (x² + x + 9x + 9)= 10x – 5x² – x² – 10x – 9= (– 5x² – x²) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 = 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1= 4x² + 1 > 0.

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Bài 6 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CD: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lân lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Giải nhanh:

Diện tích tam giác vuông ban đầu là: .6.8 = 24 (cm)

Diện tích tam giác vuông sau khi tăng:  

Đa thức biểu thị diện tích phần tăng:  

Bài 7 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CD: Khu vườn của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m². Tính độ dài cạnh x(m) của khu vườn đó.

Giải nhanh:

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x² (m²).

Diện tích mảnh đất trồng rau là: (x – 10)(x – 15) = x² – 25x + 150 (m²).

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau:

x² – (x² – 25x + 150) = 475

x = 25 m.