BÀI 2: CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN (4 tiết)

I. Cộng hai đa thức.

HĐ 1. : Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y²; Q = x² – 2xy + y²

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Đáp án chuẩn: 

a) P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) P + Q = 2x² + 2y²

Luyện tập 1. Tính tổng của hai đa thức: M = x³ + y³ và N = x³ – y³

Đáp án chuẩn: 

M + N = 2x³

II. Trừ hai đa thức

HĐ 2. Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y²

a) Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính hiệu P - Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Đáp án chuẩn: 

a) P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) P – Q = 4xy

Luyện tập 2. Với 3 đa thức A,B,C trong ví dụ 3, hãy tính:

a. B-C

b. (B-C)+A

Đáp án chuẩn: 

a) B – C = x² + 3xy – y²

b) (B – C) + A = 2x² + xy

III. Nhân hai đa thức

1. Nhân hai đơn thức

HĐ 3. 

a. Tính tích: 3x² . 8x⁴ 

b. Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Đáp án chuẩn: 

a) 24x⁶

b) +) Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

+) Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Luyện tập 3. Tính tích của hai đơn thức: x³y⁷  và −2x⁵y³

Đáp án chuẩn: 

−2x⁸y¹⁰

2. Nhân đơn thức với đa thức:

HĐ 4. 

a. Tính tích: 11x³  và (x² – x + 1) 

b. Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Đáp án chuẩn: 

a) 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Luyện tập 4. Tính tích

Đáp án chuẩn: 

3. Nhân hai đa thức:

HĐ 5. 

a. Tính tích:x + 1  và x² – x + 1

b. Nêu quy tắc nhân hai đa thức trong trường hợp một biến.

Đáp án chuẩn: 

a) x³ + 1

b) Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Luyện tập 5 . Tính (x-y)(x-y)

Đáp án chuẩn: 

x² – 2xy + y²

IV. Chia đa thức cho đơn thức

1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

HĐ 6. Tính tích  9x⁵y⁴ và  2x⁴y² 

Đáp án chuẩn: 

18x⁹y⁶

Luyện tập 6. Cho P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³).  Tính giá trị của biểu thức P tại x= -0,5; y= -2

Đáp án chuẩn: 

P = 3xy²;  P= −6

2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức

HĐ 7. Tính tích (3xy).(x+y)

Đáp án chuẩn:

3x²y + 3xy²

Luyện tập 7. Tìm thương trong phép chia đa thức: … cho đơn thức …

Đáp án chuẩn:

4 – 2x+ 4y

V) Bài tập

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)

b) (

c) (x + y)(x² + 2xy + y²)

d) (x-y)(x² - 2xy + y²)

Đáp án chuẩn:

a) 2x³y² – 3x²y² + 7x²y

c) x³ + 3x²y + 3xy² + y³

d) x³ -  3x²y + 3xy² - y³

Bài 2 : Thực hiện phép tính:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y) 

b) (x²y²+x³y²−x⁵y⁴) :

Đáp án chuẩn:

a) 3x³y⁶

b)

Bài 3 : Rút gọn biểu thức

a) (x – y)(x² + xy + y²)

b) (x + y)(x² - xy + y²)

c)

d) (x + y) (x - y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²)

Đáp án chuẩn:

a) x³ – y³

b) x³ + y³

c)  

d) 0

Bài 4 : a. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 

P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

b. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x :

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

Đáp án chuẩn:

a) P = 3xy – 1; P= 17

b) (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3) = -8 (đpcm)

Bài 5 :a)Chứng minh rằng biểu thức P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Đáp án chuẩn:

a) P = – 9 luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Q = 4x² + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Bài 6: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lân lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Đáp án chuẩn:

Bài 7: Khu vườn của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m². Tính độ dài cạnh x(m) của khu vườn đó.

Đáp án chuẩn:

25 m