CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. Khái niệm về phân thức đại số

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biểu thức ; x-2

a. Biểu thức 2x+1 có phải là đa thức hay không?

b. Biểu thức x-2 có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?

Giải nhanh

a) là đa thức.          b) là đa thức 

Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CD: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức? a)  ;             b)

Giải nhanh

a)   là phân thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Hoạt động 2 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai phân số ab và cd. Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.

Giải nhanh

Hai phân số và được gọi là bằng nhau nếu , viết là .

Luyện tập 2 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CD: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau hay không? Vì sao?

a)                 b) và

Giải nhanh

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x – y và (x² – y²) . 1 = x² – y². Nên (x + y)(x – y) = (x² – y²).1

Vậy

b) Ta có: và . Do . 1 nên hai phân thức và không bằng nhau.

II. Tính chất cơ bản của phân thức

1. Tính chất cơ bản

Hoạt động 3 trang 31 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a. Tìm số thích hợp cho ?          

b. Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số

Giải nhanh

a) –14  và 1.

b) • Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một ước chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Luyện tập 3 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

Giải nhanh

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y: 

2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Hoạt động 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức:

a. Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu.

b. Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 

Giải nhanh

a) 2xy.

b)

Luyện tập 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Rút gọn mỗi phân thức sau:

a)                b)

Giải nhanh

a)             b)  

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Hoạt động 5 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai phân thức và

a. Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x. 

b. Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được?

Giải nhanh

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x:

b) Mẫu của hai phân đều bằng x²y².

Hoạt động 6 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tìm MTC của hai phân thức và

Giải nhanh

Hoạt động 7 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức hai phân thức ; .

Giải nhanh

Luyện tập 5 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) và                  b) và

Giải nhanh

a)

b) ; .

III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức.

Hoạt động 8 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức Tìm giá trị của x sao cho mẫu x-2 ≠0. 

Giải nhanh

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2. Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

Hoạt động 9 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của biểu thức tại

Giải nhanh

.

Luyện tập 6 trang 36 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức  

a. Viết điều kiện xác định của phân thức.

b. Tính giá trị của phân thức tại x=10 và x=-1

Giải nhanh

a) x² + x ≠ 0.

b)x = 10:  

x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định=> tại x = −1 thì phân thức không tồn tại.

IV. Bài tập

Bài 1 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a)                   b)                 c)

Giải nhanh

a) 3y + 3 ≠ 0;         b) y² + 16 ≠ 0;        c) x – y ≠ 0.

Bài 2 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a)           b)         c)

Giải nhanh

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy Nên 3x . 10y = 2 . 15xy=>

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y. Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x)=>

c) Ta có (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x² – x + 1) = x(x³ + 1);Vì (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x³ + 1) nên

Bài 3 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Rút gọn mỗi phân thức sau:

a)                b)

Giải nhanh

a)            b)

Bài 4 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:  a) và         b) và

Giải nhanh

a)
b)

Bài 5 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x=5.

Giải nhanh

a) Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (cm²).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (cm²).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

b) Điều kiện xác định của phân thức là

• Ta thấy Do đó, giá trị của phân thức tại là .

• Ta thấy Do đó, giá trị của phân thức tại là .

Bài 6 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, ...) là 80 triệu. Biết chi phí đề sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.

a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.

b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.

c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Giải nhanh

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của x sản phẩm là nghìn đồng.

số tiền thực đã bỏ ra để làm được sản phẩm là: (nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm x sản phẩm (nghìn đồng).

b)   (nghìn đồng).

c) x = 100 là: (nghìn đồng).

x = 1 000 là: (nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.