I. Khái niệm về phân thức đại số

1. Định nghĩa

Bài 1: Cho biểu thức…

Biểu thức $2x + 1$ có phải là đa thức hay không?

Biểu thức $x - 2$ có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?

Đáp án:

a) Biểu thức $2x + 1$ là đa thức.

b) Biểu thức $x - 2$ là đa thức khác đa thức 0.

Bài 2: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?...

Đáp án:

a) Biểu thức $\frac{x^2y + xy^2}{x - y}$ là phân thức do có tử $x^2y + xy^2$ và mẫu x – y là các đa thức và x – y khác đa thức 0.

b) Biểu thức $\frac{x^2 - 1}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức do biểu thức 1xkhông phải là các đa thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Bài 3: Cho hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$. Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.

Đáp án:

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Bài 4: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau hay không? Vì sao?...

Đáp án:

a) $(x + y)(x – y) = x^2 – y^2$ và $(x^2 – y^2) . 1 = x^2 – y^2$.

Nên $(x + y)(x – y) = (x^2 – y^2) . 1$

Vậy hai cặp phân thức $\frac{x + y}{x^2 - y^2}$ và $\frac{1}{x - y}$ bằng nhau

b) $x(x – 1) = x^2 – x$ và $(x^2 – 1) . 1 = x^2 – 1$

Do $x(x – 1) ≠ (x^2 – 1) . 1$

Vậy hai phân thức $\frac{x}{x^2 - 1}$ và $\frac{1}x-1$ không bằng nhau.

II. Tính chất cơ bản của phân thức

1. Tính chất cơ bản

Bài 1: 

Tìm số thích hợp cho ?: …

Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số

Đáp án:

a) $\frac{2}{-7} = \frac{2.2}{-7.2} = \frac{4}{-14}$

$\frac{-3}{-9} = \frac{-3:-3}{-9:-3} = \frac{1}{3}$

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một ước chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Bài 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:…

Đáp án:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

$\frac{3x + y}{y} = \frac{(3x + y).y}{y.y} = \frac{3xy + y^2}{y^2}$ (theo tính chất cơ bản của phân thức).

2. Ứng dụng

Bài 3: Cho phân thức: …

Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu.

Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 

Đáp án:

a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.

b) Chia cả tử và mẫu cho 2xy, ta được phân thức:

$\frac{4x^2y}{6xy^2} = \frac{4x^2y : 2xy}{6xy^2 : 2xy} = \frac{2x}{3y}$ 

Vậy chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì ta được phân thức $\frac{2x}{3y}$.

Bài 4: Rút gọn mỗi phân thức sau:…

Đáp án:

a) $\frac{8x^2 + 4x}{1 - 4x^2} = \frac{4x(2x + 1)}{(1 - 2x)(1 + 2x)} = \frac{4x}{1 - 2x}$

b) $\frac{x^3 - xy^2}{2x^2 + 2xy} = \frac{x(x^2 - y^2)}{2x(x + y)} = \frac{x(x + y)(x - y)}{2x(x + y)} = \frac{x - y}{2}$

Bài 5: Cho hai phân thức $\frac{1}{x^2y}$ và $\frac{1}{xy^2}$

Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x. 

Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được?

Đáp án:

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất và phân thức thứ 2 với y, ta được:

$\frac{1}{x^2y} = \frac{1.y}{x^2y.y} = \frac{y}{x^2y^2}$ 

$\frac{1}{xy^2} = \frac{1.x}{xy^2.x} = \frac{x}{x^2y^2}$ 

b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau.

Bài 6: Tìm MTC của hai phân thức

Đáp án:

Mô tả cách tìm mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{5}{2x+6}$ và $\frac{3}{x^2 + 9}$.

Bài 7: Quy đồng mẫu thức hai phân thức…

Đáp án:

Chọn mẫu thức chung là $x(x - 1)(x + 1)$, ta có:

$\frac{1}{x^2 + 1} = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{x-1}{x(x + 1)(x - 1)}$ 

$\frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{x + 1}{x(x + 1)(x - 1)}$ 

Bài 8: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:…

Đáp án:

a) $\frac{5}{2x^2y^3}$ và $\frac{3}{xy^4}$

$MTC: 2x^2y^4$

$\frac{5}{2x^2y^3} = \frac{5.y}{2x^2y^3.y} = \frac{5y}{2x^2y^4}$ 

$\frac{3}{xy^4} = \frac{3.2x}{xy^4.2x} = \frac{6x}{2x^2y^4}$ 

b) $\frac{3}{2x^2 - 10x}$ và $\frac{2}{x^2 - 25}$

Ta có $\frac{3}{2x^2 - 10x} = \frac{3}{2x(x - 5)} : \frac{2}{(x^2 - 25)} = \frac{2}{(x+5)(x-5)}$

$MTC: 2x(x + 5)(x - 5)$

$\frac{3}{2x^2 - 10x} = \frac{3}{x(x - 5)} = \frac{3(x + 5)}{2x(x - 5)(x + 5)}$ 

$\frac{2}{x^2 - 25} = \frac{2}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{4x}{2x(x + 5)(x - 5)}$ .

III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức.

Bài 1: Cho phân thức ... Tìm giá trị của x sao cho mẫu x - 2 ≠ 0. 

Đáp án:

x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2. 

Điều kiện xác định là x ≠ 2.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức…

Đáp án:

Thay x = 4 vào biểu thức, ta được: $\frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.

Bài 3: Cho phân thức …

Viết điều kiện xác định của phân thức.

Tính giá trị của phân thức tại x = 10 và x = -1

Đáp án:

a) Điều kiện xác định: $x^2 + x ≠ 0$. 

$\Rightarrow x(x + 1) ≠ 0 \Rightarrow x ≠ 0$ hoặc $x ≠ -1$

b) Với x = 10 (t/m điều kiện xác định)

Do đó, tại x = 10 giá trị của phân thức là: 

$\frac{10 + 1}{10^2 + 10} = \frac{11}{100 + 10} = \frac{11}{100}$ 

Với x = −1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

Bài tập

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:…

Đáp án:

a) $\frac{y}{3y + 3}$

ĐKXĐ: $3y + 3 ≠ 0 \Rightarrow y ≠ -1$

b) $\frac{4y}{y^2 + 16}$

ĐKXĐ: $y^2 + 16 ≠ 0$ (luôn đúng); Phân thức luôn xác định với mọi y

c) $\frac{x + y}{x - y}$

ĐKXĐ: $x – y ≠ 0 \Rightarrow x ≠ y$

Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:…

Đáp án:

a) $3x . 10y = 2 . 15xy = 30xy$

Do đó $\frac{3x}{2} = \frac{15xy}{10y}$

b) $(3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x) = 6x – 6y$

Do đó $\frac{3x - 3y}{2y - 2x} = \frac{-3}{2}$

c) $(x^2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x^3 + 1) = x(x^3 + 1)$ 

Do đó $\frac{x^2 - x + 1}{x} = \frac{x^3 + 1}{x(x + 1)}$

Bài 3: Rút gọn mỗi phân thức sau:…

Đáp án:

a) $\frac{24x^2y^2}{16xy^3} = \frac{(24x^2y^2) : (8xy^2)}{(16xy^3) : (8xy^2)} = \frac{3x}{2y}$

b) $\frac{6x - 2y}{9x^2 - y^2} = \frac{6x - 2y}{(3x)^2 - y^2} = \frac{2(3x - y)}{(3x + y)(3x - y)} = \frac{2}{3x + y}$

Bài 4: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:…

Đáp án:

a) $MTC: (x – 3y)(x + 3y)$

$\frac{2}{x - 3y} = \frac{2(x + 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)} : \frac{3}{x + 3y}$

= $\frac{3(x – 3y)}{(x + 3y)(x – 3y)}$ 

b) $MTC: 4(x + 6)(x – 6)$.

$\frac{7}{4x + 24} = \frac{7}{4x + 6} = \frac{7(x - 6)}{4(x + 6)(x - 6)}$

$\frac{13}{x^2 - 36} = \frac{13}{(x + 6)(x – 6)} = \frac{13 . 4}{(x + 6)(x – 6).4}$

= $\frac{52}{4(x + 6)(x – 6)}$ 

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5.

Đáp án:

a) Biểu thức biểu thị $S_{ABCD}: (x + 3)(x + 1) (cm^2)$.

Biểu thức biểu thị $S_{MNPQ}: x(x + 1) (cm^2)$.

Phân thức biểu thị tỉ số $S_{ABCD}$ và $S_{MNPQ}$ là:

$\frac{(x + 3)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{x + 3}{x}$ 

b) Điều kiện xác định là x≠0

Thay x = 2 (TMĐK) vào biểu thức, ta có: $\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$.

Thay x = 5 (TMĐK) vào biểu thức, ta có: $\frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.

Bài 6: Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, ...) là 80 triệu. Biết chi phí đề sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.

a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.

b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.

c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Đáp án:

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.

Số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là: 

80 000 + 15x (nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là $\frac{80 000 + 15x}{1}$ (nghìn đồng).

b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: $\frac{80 000 + 15x}{x}$ (nghìn đồng).

c) Nếu x = 100, chi phí để tạo ra 1 sản phẩm là:

$\frac{80 000 + 15.100}{100} = \frac{80 000 + 1500}{100} = \frac{81500}{100} = 815$ (nghìn đồng).

Nếu x = 1 000, chi phí để tạo ra 1 sản phẩm là:

$\frac{80 000 + 15.1000}{1000} = \frac{80 000 + 15000}{100} = \frac{9500}{100} = 95$ (nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.