I. Định nghĩa

Bài 1: Cho biết các góc và các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm gì.

Đáp án:

Các góc trong tứ giác $ABCD: \widehat{A},\widehat{B},\widehat{C},\widehat{D}$ đều bằng nhau và bằng $90^{\circ}$

Các cạnh trong tứ giác $ABCD$ đều bằng nhau, cụ thể: $AB=BC=CD=DA$

II. Tính chất

Bài 1: 

a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?

b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?

Đáp án:

a) Vì có 4 góc vuông nên mỗi hình vuông đều là một hình chữ nhật.

b) Vì có 4 cạnh bằng nhau nên mỗi hình vuông đều là một hình thoi.

Bài 2: Cho hình vuông $ABCD$. Tính số đo các góc $CAB, DAC$.

Đáp án:

Ta có: $\widehat{DAB}=90^{\circ} (ABCD$ là hình vuông) mà $AC$ lại là tia phân giác của $\widehat{DAB}$

=> $\widehat{CAB}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=45^{\circ}$

III. Dấu hiệu nhận biết

Bài 1: 

a) Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình vuông hay không?

b) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 69):

Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?

ABCD có phải là hình vuông hay không?

c) Cho hình chữ nhật ABCD có AC là tia phân giác của góc DAB:

Tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không?

ABCD có phải là hình vuông hay không?

Đáp án:

a) Xét hình chữ nhật ABCD, có: $AB=BC => AB=BC=CD=DA$

=> Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên $ABCD$ là hình vuông.

b)

Ta có $AC, BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường (ABCD là hình chữ nhật)

Mà $AC⊥BD => AC$ là trung trực của BD

$=> AB=AD; CB=CD (AC$ là trung trực của BD)

$=> AB=BC=CD=DA$ 

Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông

c) 

Ta có $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (so le trong). Do $AB // CD (ABCD$ là hình chữ nhật)

Có $AC$ là tia phân giác của $\widehat{DAB} => \widehat{DAC}=\widehat{BAC}$

$=> \widehat{BAC}=\widehat{BCA}$.

Xét ∆ABC vuông tại B, có $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$

=> ∆ABC vuông cân tại B.

=> $BA=BC$

Xét hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề BA và BC bằng nhau 

$\Rightarrow ABCD$ là hình vuông.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $BD = DE = EC$. Qua D và E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC lần lượt tại H và G. Chứng minh tứ giác $DEGH$ là hình vuông.

Đáp án:

Ta có ∆ABC vuông cân tại A 

=> $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^{\circ}$ hay $\widehat{DBH}=45^{\circ}$

Xét ∆BDH vuông tại D: $\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^{\circ}$

=> $\widehat{DHB}= 90^{\circ}-\widehat{DBH}=45^{\circ}$

=> $\widehat{DHB} = \widehat{DBH} = 45^{\circ}$

=> ∆BDH vuông cân tại D => $BD=DH$

Tương tự có ∆GEC vuông cân tại E => $EG=EC$

Mà $BD=DE=EC => DH=DE=EG$

Xét tứ giác DEGH có $DH//GE; DH=DE$.

=> $DEGH$ là hình bình hành, mà $\widehat{HDE}=90^{\circ}$ nên là hình chữ nhật.

Lại có hai cạnh kề $DH=DE$ nên $DEGH$ là hình vuông.

IV. Bài tập

Bài 1: Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = BD$. Chứng minh $ABCD$ là hình vuông.

Đáp án:

Do $ABCD$ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Xét hình bình hành $ABCD$ có: $AC, BD$ là hai đường chéo bằng nhau. 

=> $ABCD$ là hình chữ nhật.

Mà $AD=AB (ABCD$ là hình thoi) => Hình chữ nhật $ABCD$ là hình vuông.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Chứng minh $ABCD$ là hình vuông.

Đáp án:

Do $ABCD$ là hình thoi nên cũng là hình hình bình hành.

Xét hình bình hành $ABCD$, có $\widehat{A}=90^{\circ}$ 

=> $ABCD$ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc là $90^{\circ}$)

Mà $AD=AB (ABCD$ là hình thoi) => $ABCD$ là hình vuông.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác $AHDK$ là hình vuông.

Đáp án:

Xét tứ giác $AHDK$ có: $\widehat{A}=\widehat{H}=\widehat{K}=90^{\circ} (gt)$ 

=> $AHDK$ là hình chữ nhật.

Mà $AD$ là phân giác $HAK$ nên $AHDK$ là hình vuông.

Bài 4: Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt ghép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{2} (dm)$.

Đáp án:

Ta gấp đôi lại và cắt hai mảnh giấy hình vuông có cạnh là 1 dm thành 4 mảnh giấy tam giác vuông.

Ghép 4 vừa cắt xong lại với nhau, ta thấy cạnh huyền tam giác là cạnh của hình vuông mới và bằng $\sqrt{2} (dm)$

Bài 5: Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông? Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 7).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Đáp án:

Bạn Minh gấp mảnh giấy sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau nên hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau tại O và $OA = OB = OC = OD$.

Do đó $AC ⊥ BD$ tại trung điểm O của mỗi đường.

Khi đó tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

Xét hình thoi $ABCD$ có :

$AC$ và $BD$ là hai đường chéo bằng nhau (do cùng là đường kính của hình tròn)

=> $ABCD$ là hình vuông có tâm là O.