Bài 1: Cho hai đa thức A = … ; B = ...

Tính giá trị của mỗi đa thức A, B tại x = -1; y = 1.

Tính A + B; A - B.

Đáp án:

a) Giá trị của biểu thức A và B tại $x = -1; y = 1$ là:

$A = 4 . (-1)^6 - 2 . (-1)^2 . 1^3 - 5 . (-1) . 1 + 2 = 9$

$B = 3 . (-1)^2 . 1^3 + 5 . (-1) . 1 - 7 = -9$

b) $A + B = 4x^6 - 2x^2y^3 - 5xy + 2 + 3x^2y^3 + 5xy - 7$

= $4x^6 + x^2y^3 - 5$

$A – B = 4x^6 - 2x^2y^3 - 5xy + 2 - 3x^2y^3 - 5xy + 7$

= $4x^6 - 5x^2y^3 - 10xy + 9$ 

Bài 2: Thực hiện phép tính…

Đáp án:

a) $\frac{-1}{3}a^2b . (-6ab^2 - 3a + 9b^3)$

= $-\frac{1}{3}a^2b.(-6ab^2) + (-\frac{1}{3}a^2b).3a - (\frac{1}{3}a^2b) . 9b^3$

= $2a^3b^3 - a^3b - 3a^2b^4$ 

b) $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

= $a^2 . a^4 - a^2 . a^2b^2 + a^2 . b^4 + b^2 . a^4 - b^2 . a^2b^2 + b^2 . b^4$

= $a^6 - a^4b^2 + a^2b^4 + a^4b^2 - a^2b^4 + b^6 = a^6 + b^6$ 

c) $(-5x^3y^2z) : (\frac{15}{2}xy^2z)$

= $(-5 : \frac{15}{2}) . (x^3 : x) . (y^2 : y^2) . (z : z)$

= $-\frac{2}{3}x^2$

d) $(8x^4y^2 - 10x^2y^4 + 12x^3y^5) : (-2x^2y^2)$

= $8x^4y^2 : (-2x^2y^2) - 10x^2y^4 : (-2x^2y^2) + 12x^3y^5 : (-2x^2y^2)$ 

= $-4x^2 + 5y^2 - 6xy^3$ 

Bài 3: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu:…

Đáp án:

a) $x^2 + 12x + \frac{1}{16}$

= $x^2 + 2.x.\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$

= $(x + \frac{1}{4})^2$

b) $25x^2 - 10xy + y^2$ = $(5x)^2 - 2.5x.y + y^2$ 

= $(5x - y)^2$ 

c) $x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3$ = $x^3 + 3.x^2.3y + 3.x.(3y)^2 + (3y)^3$ 

= $(x + 3y)^3$ 

d) $64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$ = $(4x)^3 - 3.(4x)^2.y + 3.4x.y^2 - y^3$ 

= $(4x - y)^3$ 

Bài 4: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến…

Đáp án:

a) $A = 0,2(5x - 1) -\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x + 4) + \frac{2}{3}(3 - x)$

= $0,2 . 5x - 0,2 - \frac{1}{2} . \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}.4 + \frac{2}{3}.3 - \frac{2}{3}x$

= $x - 0,2 - \frac{1}{3}x - 2 + 2 \frac{2}{3}x = -0,2$

Vậy với mọi giá trị của x, A luôn bằng -0,2 nên biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x

b) $B = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x^3 - 8y^3 + 10)$

= $(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x^3 - 8y^3) - 10$

= $(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x - 2y)(x^2 + 2xy + y^2) - 10$  

= $-10$ 

Vậy với mọi giá trị của x, B luôn bằng -10 nên biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) $C = 4(x + 1)^2 + (2x - 1)^2 - 8(x - 1)(x + 1) - 4x$

= $4(x^2 + 2x + 1) + 4x^2 - 4x + 1 - 8(x^2 - 1) - 4x$  

= $4x^2 + 8x + 4 + 4x^2 - 4x + 1 - 8x^2 + 8 - 4x$ 

=13 

Vậy với mọi giá trị của x, C luôn bằng 13 nên biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:…

Đáp án:

a) $(x + 2y)^2 - (x - y)^2$ = $(x + 2y - x + y)(x + 2y + x - y)$ 

= $3y(2x + y)$ 

b) $(x + 1)^3 + (x - 1)^3$

= $(x + 1 + x - 1)[(x + 1)^2 - (x + 1)(x - 1) + (x - 1)^2]$ 

= $2x(x^2 + 2x + 1 - x^2 + 1 + x^2 - 2x + 1)$ 

= $2x(x^2 + 3)$ 

c) $9x^2 - 3x + 2y - 4y^2$ = $(9x^2 - 4y^2) - (3x - 2y)$ 

= $(3x - 2y)(3x + 2y) - (3x - 2y)$ = $(3x - 2y)(3x + 2y - 1)$ 

d) $4x^2 - 4xy + 2x - y + y^2$ = $(4x^2 - 4xy + y^2) + (2x - y)$ 

= $(2x - y)^2 + (2x - y)$ = $(2x - y)(2x - y + 1)$ 

e) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - y^3$ = $(x + 1)^3 - y^3$ 

= $(x + 1 - y)[(x + 1)^2 + (x + 1).y + y^2]$ 

= $(x + 1 - y)(x^2 + 2x + 1 + xy + y + y^2)$ 

g) $x^3 - 2x^2y + xy^2 - 4x$ = $x(x^2 - 2xy + y^2) - 4x$ 

= $x(x - y^2) - 4x$ = $x[(x - y)^2 - 4]$

= $x(x - y - 2)(x - y + 2)$.

Bài 6: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là x (m), chiều dài là y (m).

a) Viết đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn

b) Nếu tăng chiều rộng lên 2m và giảm chiều dài đi 3m thì được mảnh vườn mới. Viết đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn mới.

c) Viết đa thức biểu thị phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu.

Đáp án:

a) Đa thức biểu thị $S_{mảnh vườn}$ là: $xy (m^2)$

b) Ta có chiều rộng, chiều dài mới của mảnh vườn lần lượt là: $x + 2 (m), y + 3 (m)$

Ta có đa thức biểu thị:

$S_{mảnh vườn mới}: (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6 (m^2)$

c) Ta có đa thức biểu thị phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là:

$S_{mảnh vườn mới} - S_{mảnh vườn} =  xy + 3x + 2y + 6 - xy = 3x+2y+6 (m^2)$