I. Tứ giác

1. Nhận biết tứ giác

Bài 1: Quan sát tứ giác ABCD ở Hình 13 và đọc tên các cạnh, các đường chéo, các đỉnh, các góc của tứ giác đó. 

Đáp án:

2. Nhận biết tứ giác lồi.

Bài 2: Quan sát các hình 14a và b và nêu nhận xét về vị trí của mỗi tứ giác so với đường thẳng chứa một cạnh bất kì của tứ giác đó.

Đáp án:

Ở hình 14a, ta thấy: Tứ giác $ABCD$ nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của tứ giác đó. Trong khi đó tứ giác $MNPQ$ hình 14b lại không nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh $NP$ hoặc cạnh $PQ$.

II. Tổng các góc của một tứ giác.

Bài 1: Quan sát tứ giác $ABCD$ ở Hình 16, đường chéo $AC$ chia nó thành hai tam giác $ABC$ và $ACD$.

a) Gọi $T_1, T_2$ lần lượt là tổng các góc của tam giác $ABC$ và tam giác $ACD$. Tổng $T_1 + T_2$ bằng bao nhiêu độ?

b) Gọi $T$ là tổng các góc của tứ giác $ABCD$. So sánh $T$ với $T_1 + T_2$.

Đáp án:

a) Trong 1 tam giác tổng ba góc sẽ luôn bằng $180^{\circ}$

$\Rightarrow T_1 + T_2 = 360^{\circ}$

b) Ta có: $T = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = \widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{ACB} + \widehat{DAC} + \widehat{ACD} + \widehat{D}$

$\Rightarrow T = T_1 + T_2 = 360^{\circ}$ 

Bài 2: Tìm x trong hình 18

Đáp án:

Trong 1 tứ giác, tổng 4 góc sẽ bằng $360^{\circ}$

$x = 360^{\circ} − (65^{\circ} + 75^{\circ} + 85^{\circ}) = 135^{\circ}$

III. Bài tập

Bài 1: Trong các tứ giác ở hình $19a, 19b, 19c, 19d, 19e, 19g$ tứ giác nào không phải là tứ giác lồi? Vì sao?

Đáp án:

Tứ giác 19c không nằm về một phía đối với hai đường thẳng chứa lần lượt hai cạnh của tứ giác (hai đường thẳng màu đen được vẽ ở hình bên dưới).

Nên ta kết luận rằng tứ giác ở hình 19c không phải là tứ giác lồi

Bài 2:

a) Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A}+\widehat{C} = 180^{\circ}$ thì $\widehat{B}+\widehat{D}$ bằng bao nhiêu độ?

b) Có hay không một tứ giác có 2 góc tù và 2 góc vuông?

c) Có hay không một tứ giác có cả 4 góc đều là góc nhọn?

Đáp án:

a) Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ 

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{D}=360^{\circ} - \widehat{A} + \widehat{C} = 180^{\circ}$

b) Giả sử tứ giác $ABCD$ có 2 góc tù và 2 góc vuông

Xét $\widehat{A}>90^{\circ}, \widehat{B}>90^{\circ}; \widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$

Vậy tổng các góc của tứ giác trên: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}>360^{\circ}$ (không hợp lý)

Vậy không tồn tại tứ giác có 2 góc tù và 2 góc vuông.

c) Giả sử tứ giác ABCD có cả 4 góc đều là góc nhọn

Xét $\widehat{A}<90^{\circ}, \widehat{B}<90^{\circ}, \widehat{C}<90^{\circ}, \widehat{D}<90^{\circ}$

Vậy tổng các góc của tứ giác trên: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}<360^{\circ}$ (không hợp lý)

Vậy không tồn tại tứ giác có 4 góc nhọn.

Bài 3: Hình 20 mô tả mặt cắt dọc phân nổi trên mặt nước của một chiếc tàu thuỷ. Tính chu vi mặt cắt dọc phân nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)

Đáp án:

Xét $\Delta AHB$ vuông có $\widehat{H} = 90^{\circ}$:

$AB^2=AH^2+HB^2$ (định lí Pythagore)

= $5,6^2 + 8,4^2 = 101,92 \Rightarrow AB = \sqrt{101,92} (m)$

Xét $\Delta CDK$ vuông có $\widehat{K}=90^{\circ}$

$CD^2=CK^2+KD^2$ (định lí Pythagore)

= $16,2^2+10,8^2=379,08 \Rightarrow CD=\sqrt{379,08} (m)$

Ta có : 

$AI = HK = HB + BC + CK = 48,6 (m)$. 

$DI = DK – IK = DK – AH = 5,2 (m)$. 

$\Delta ADI$ vuông tại I:

$AD^2=AI^2+DI^2$ (định lí Pythagore)

= $48,6^2+5,2^2 = 2389 \Rightarrow AD=\sqrt{2389} (m)$

Vậy chu vi tứ giác $ABCD$ là:

$AB+BC+CD+DA=\sqrt{101,92}+24+\sqrt{379,08}+\sqrt{2389} ≈ 102,4 (m)$