Bài 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai về hai đường thẳng $d: y = ax + b (a ≠ 0)$ và $d': y = a'x + b' (a' ≠ 0)$?

a) Nếu hai đường thẳng d và d' song song với nhau thì $a = a', b ≠ b'$.

b) Nếu hai đường thẳng d và d' song song với nhau thì  $a = a', b = b'$.

c) Nếu hai đường thẳng d và d' cắt nhau thì $a ≠ a'$

d) Nếu hai đường thẳng d và d' cắt nhau thì $a ≠ a', b ≠ b'$

Đáp án:

a) Đúng

b) Sai do điều kiện đúng phải là $a = a',  b ≠ b’$

c) Đúng

d) Sai do điều kiện đúng phải là $a ≠ a’$

Bài 2: Cho tam giác ABC như Hình 25.

a) Xác định toạ độ các điểm A, B, C.

b) Tam giác ABC có là tam giác vuông cân hay không?

c) Gọi D là điểm để tứ giác ABCD là hình vuông. Xác định toạ độ điểm D.

Đáp án:

a) Ta có tọa độ các điểm: $A1; -1); B(2; -1); C(2; 2)$

b) $BC//Oy ; BA//Ox \Rightarrow BC\perp BA \Rightarrow$ ∆ABC vuông tại B

Mà $BC = BA = 3 \Rightarrow$ ∆ABC là tam giác vuông cân tại B.

c) Tọa độ điểm D là $D(-1;2)$

Bài 3: Càng lên cao không khí càng loãng nên áp suất khí quyển càng giảm. Chẳng hạn, các khu vực của Thành phố Hồ Chí Minh đều có độ cao sát mực nước biển nên có áp suất khí quyển là $p = 760 mmHg$; thành phố Puebla (Mexico) có độ cao $h = 2 200 m$ so với mực nước biển nên có áp suất khí quyển là $p = 550,4 mmHg$. Người ta ước lượng được áp suất khí quyển $p (mmHg)$ tương ứng với độ cao $h (m)$ so với mực nước biển là một hàm số bậc nhất có dạng $p = ah + b (a ≠ 0)$.

a) Xác định hàm số bậc nhất đó.

b) Cao nguyên Lâm Đồng có độ cao 650 m so với mực nước biển thì áp suất khí quyển là bao nhiêu mmHg (làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án:

a) Các khu vực của Thành phố Hồ Chí Minh có :

Áp suất khí quyển là $p = 760 mmHg \Rightarrow h = 0 (m) \Rightarrow p = 760 mmHg$.

Thay $h = 0 (m); p = 760 mmHg$, ta được:

$a . 0 + b = 760 \Rightarrow b = 760$. 

$\Rightarrow$ Hàm số bậc nhất : $p = ah + 760$.

Thành phố Puebla (Mexico) có :

Độ cao $h = 2 200 m \Rightarrow$ áp suất khí quyển là $p = 550,4 mmHg$.

Thay $h = 2 200 m; p = 550,4 mmHg$ ta được:

$a . 2 200 + 760 = 550,4 \Rightarrow 2 200a = – 209,6 \Rightarrow a= -\frac{131}{1375}$

$\Rightarrow$ Hàm số cần tìm là : $p = -\frac{131}{1375}h + 760$

b) Cao nguyên Lâm Đồng có độ cao 650 m so với mực nước biển thì áp suất khí quyển là : $p = -\frac{131}{1375}.650 + 760 ≈ 698,1 (mmHg)$

Bài 4: Cho hai hàm số $y = -\frac{1}{2}x + 3; y = 2x - 2$

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $y = -\frac{1}{2}x + 3; y = 2x - 2$ với trục hoành và C là giao điểm của hai đường thẳng đó. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục toạ độ là centimét).

Đáp án:

a) Hàm số $y = -\frac{1}{2}x + 3$

Với $x=0$ thì $y=3$, ta được điểm $M(0;3)$.

Với $y=0$ thì $x=6$, ta được điểm $N(6;0)$.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = -\frac{1}{2}x + 3$ đi qua hai điểm $M(0;3)$ và $N(6;0)$

Hàm số $y = 2x - 2$

Với $x=0$ thì $y=-2$, ta được điểm $P(0;2)$.

Với $y=0$ thì $x=1$, ta được điểm $Q(1;0)$.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = 2x - 2$ đi qua hai điểm $P(0;2)$ và $Q(1;0)$

Ta vẽ được đồ thị:

b) Theo đầu bài ta có : $A≡N; B≡Q$

Gọi H là hình chiếu của C trên AB hay CH là đường cao của ∆ABC

Dựa vào hình vẽ ta có :

$\Rightarrow S_{∆ABC} = \frac{1}{2}.AB.CH = \frac{1}{2}.|6 - 1|.2= \frac{1}{2}.5.2 = 5 cm^2$

Bài 5:

a) Biết rằng với $x = 3$ thì hàm số $y = 2x + b$ có giá trị là 11. Tìm b và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị b vừa tìm được.

b) Biết rằng đồ thị của hàm số $y = ax + 6$ đi qua điểm $A (- 2 ; 2)$. Tìm a và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a vừa tìm được.

Đáp án:

a) Với $x=3$ thì hàm số $y = 11$ tức là :

$2 . 3 + b = 11 \Rightarrow 6 + b = 11 \Rightarrow b = 11 – 6 = 5$. 

Khi đó, ta có đồ thị của hàm số $y = 2x + 5$.

Với $x = 0 => y = 54$, ta được điểm $M(0; 5)$ 

Với $y=0 => x = -52$, ta được điểm $N(-\frac{5}{2};0)$ 

=> Đồ thị hàm số $y=2x+5$ đi qua hai điểm $M(0; 5)$ và $N(-\frac{5}{2};0)$.

b) Đồ thị của hàm số $y = ax + 6$ đi qua điểm $A(-2; 2)$

$\Rightarrow –2a + 6 = 2 \Rightarrow a = 2$.

Khi đó, đồ thị của hàm số cần tìm là $y = 2x + 6$.

Với $x = 0 \Rightarrow y=6$, ta được $P(0;6)$.

Với $y=0 \Rightarrow x = -3$, ta được điểm $Q(-3;0)$.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = 2x + 6$ đi qua hai điểm $P(0 ; 6)$ và $Q(-3;0)$

Bài 6: Tìm hàm số bậc nhất $y = ax + b (a + 0)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đó đi qua điểm $A(1 ; 3)$ và có hệ số góc bằng - 2;

b) Đồ thị của hàm số đó đi qua điểm $M(- 1 ; 4)$ và song song với đường thẳng $y = -3x - 1$.

Đáp án:

a) Hệ số góc là $-2 \Rightarrow a = -2$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $M(1; 3) \Rightarrow 3 = -2.1 + b \Rightarrow b=5$

$\Rightarrow$ Hàm số cần tìm $y = -2x+5$

b) Do đồ thị song song với đường $y = -3x - 1$

$\Rightarrow a = -3$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $N(-1;4) \Rightarrow 4=-3.(-1)+b \Rightarrow b=1$

$\Rightarrow$ Hàm số cần tìm là $y = -3x+1$

Bài 7: Để sử dụng dịch vụ truyền hình cáp, người dùng phải trả một khoản phí ban đầu và phí thuê bao hăng tháng. Một phần đường thẳng d ở Hình 26 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sử dụng dịch vụ truyền hình cáp theo thời gian sử dụng của một gia đình (đơn vị: tháng).

a) Tìm hàm số bậc nhất sao cho đồ thị của hàm số là đường thẳng d.

b) Giao điểm của đường thẳng ở với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?

c) Tính tổng chi phí mà gia đình đó phải trả khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp với thời gian 12 tháng.

Đáp án:

a) Gọi đường thẳng dcó dạng $y = ax + b$.

Đường thẳng đi qua điểm $(0; 1)$ nên ta có $0x + b = 1 \Rightarrow b = 1$.

Khi đó, hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + 1$.

Đường thẳng đi qua điểm $(6; 2)$ nên ta có $6a+1=2 \Rightarrow 6a=1 \Rightarrow a = \frac{1}{6}$

$Rightarrow$ Hàm số bậc nhất cần tìm là: $y = \frac{1}{6}x+1$

b) Giao điểm của đường d và trục tung trong trường hợp này thể hiện chi phí ban đầu khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp (1 triệu đồng).

c) Tổng chi phí mà gia đình đó phải trả khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp cho 12 tháng là: $\frac{1}{6} . 12 + 1 = 3$ (triệu đồng)

Bài 8: Một kho chứa 60 tấn xi măng, mỗi ngày đều xuất đi m (tấn) với $0 < m < 60$. Gọi y (tấn) là khối lượng xi măng còn lại trong kho sau x ngày xuất hàng.

a) Chứng tỏ rằng y là hàm số bậc nhất của biến x, tức là $y = ax+b (a ≠ 0)$.

b) Trong Hình 27, tia $At$ là một phần đường thẳng $y = ax + b$. Tìm a, b. Từ đó hãy cho biết trong kho còn lại bao nhiêu tấn xi măng sau 15 ngày.

Đáp án:

a) Khối lượng xi măng sau x ngày xuất hàng là: $mx$ (tấn).

Khối lượng xi măng còn lại trong kho sau x ngày xuất hàng là: $60 – mx$ (tấn)

Mà y (tấn) cũng là khối lượng xi măng còn lại trong kho sau x ngày xuất hàng.

Do đó, $y = 60 – mx$ hay $y = -mx + 60$.

Vậy y là hàm số bậc nhất của biến x.

b) $y = ax + b$. Đường thẳng đi qua điểm $A(0; 60)$:

$\Rightarrow 0x + b = 60$ hay $b = 60$.

Khi đó, đường thẳng cần tìm có dạng $y = ax + 60$.

Đường thẳng đi qua điểm $B(10; 30)$:

$\Rightarrow 10a+60 = 30$ hay $10a = – 30$ suy ra $a = –3$.

Khi đó, đường thẳng cần tìm có dạng $y = –3x+60$.

Sau 15 ngày trong kho hàng còn số tấn xi măng là: $–3 . 15+60=15$ (tấn).