I. Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Viết đa thức 3x2 – 5x thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Đáp án:

$3x^2 – 5x = x(3x – 5)$

Vậy từ đa thức $3x^2 – 5x$, ta được hai đa thức bậc nhất x và (3x – 5)

II. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử.

1. Phương pháp vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức

Bài 1: Viết mỗi đa thức sau thành tích của hai đa thức: …

Đáp án:

Bài 2: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử. 

Đáp án:

a) $(x + 2y)^2 – (2x – y)^2$ = $[(x + 2y) + (2x – y)] [(x + 2y) – (2x – y)]$

= $(x + 2y + 2x – y)(x + 2y – 2x + y)$ = $(3x + y)(3y – x)$

b) $125 + y^3$ = $5^3 + y^3$ = $(5 + y)(25 – 5y + y^2)$

c) $27x^3 - 8y^3$ = $(3x)^3 - (2y)^3$ = $(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Bài 3: Cho đa thức:…

Nhóm 3 số hạng đầu và áp dụng hẳng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích. 

Phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Đáp án:

a) $x^2 – 2xy + y^2 + x – y$

= $(x^2 – 2xy + y^2) + (x – y)$ (nhóm ba số hạng đầu, hai số hạng cuối thành nhóm)

= $(x – y)^2 + (x – y)$ = $(x – y)(x – y + 1)$ 

b) Đa thức trên được phân tích thành nhân tử như sau:

$x^2 – 2xy + y^2 + x – y = (x – y)(x – y + 1)$.

Bài 4: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử… 

Đáp án:

a) $3x^2 – 6xy + 3y^2 – 5x + 5y$

= $3(x^2 – 2xy + y^2) – (5x – 5y)$ = $3(x – y)^2 – 5(x – y)$

= $(x – y)[3(x – y) – 5]$ = $(x – y)(3x – 3y – 5)$

b) $2x^2y + 4xy^2 + 2y^3 – 8y$

= $2y(x^2 + 2xy + y^2 – 4)$ = $2y[(x + y)^2 – 2^2]$

= $2y(x + y + 2)(x + y – 2)$.

III. Bài tập

Bài 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:…

Đáp án:

a) $4x^2 – 12xy + 9y^2$ = $(2x)^2 – 2 . 2x . 3y + (3y)^2$ 

= $(2x – 3y)^2$

b) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

= $x^3 + 3 . x^2 . 3 + 3 . x . 3^2 + 3^3$ = $(x + 3)^3$

c) $8y^3 – 12y^2 + 6y – 1$

= $(2y)^3 – 3.(2y)^2 + 3.2y.1 – 1^3$ = $(2y – 1)^3$

d) $(2x + y)^2 – 4y^2$

= $(2x + y + 4y)(2x + y – 4y)$ = $(2x + 5y)(2x – 3y)$

e) $27y^3 + 8 = (3y)^3 + 2^3$

= $(3y + 2)[(3y)^2 – 3y . 2 + 2^2]$ = $(3y + 2)(9y^2 – 6y + 4)$

g) $64 – 125x^3 = 4^3 – (5x)^3$  

= $(4 + 5x)[4^2 + 4 . 5x + (5x)^2]$ = $(4 + 5x)(16 + 20x + 25x^2)$. 

Bài 2: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử…

Đáp án:

a) $x^2 – 25 + 4xy + 4y^2$ = $(x^2 + 4xy + 4y^2) – 25$

= $(x + 2y)^2 – 5^2$ = $(x + 2y + 5)(x + 2y – 5)$

b) $x^3 – y^3 + x^2y – xy^2$

= $(x^3 + x^2y) – (y^3 + xy^2)$ = $x^2(x + y) – y^2(x + y)$

= $(x + y)(x^2 – y^2)$ = $(x + y)(x + y)(x – y)$ = $(x + y)2(x – y)$

c) $x^4 – y^4 + x^3y – xy^3$

= $(x^4 + x^3y) – (y^4 + xy^3)$ = $x^3(x + y) – y^3(x + y)$ 

= $(x + y)(x^3 – y^3)$ = $(x + y)(x – y)(x^2 + xy + y^2)$. 

Bài 3: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:…

Đáp án:

a) $A = x^4 – 2x^2y – x^2 + y^2 + y$

= $(x^4 – 2x^2y + y^2) – (x^2 – y)$ = $(x^2 – y)^2 – (x^2 – y)$.

Với $x^2 – y = 6$, ta được biểu thức:

$A = (x^2 – y)^2 – (x^2 – y) = 6^2 – 6 = 36 – 6 = 30$.

b) $B = x^2y^2 + 2xyz + z^2$ = $(xy)^2 + 2xyz + z^2 = (xy + z)^2$.

Khi $xy + z = 0$, B có giá trị là: 

$B = (xy + z)^2 = 0^2 = 0$.

Bài 4: Chứng tỏ rằng:…

Đáp án:

a) $M = 32^{2023} – 32^{2021}$

= $32^2 . 32^{2021} – 32^{2021}$ = $(32^2 – 1) . 32^{2021}$ 

= $(1024 – 1) . 32^{2021}$ = $1023 . 32^{2021}$

Vì $1023 ⋮ 31$ nên $(1023 . 32^{2021}) ⋮ 31$.

Do đó M chia hết cho 31;

b) $N = 7^6 + 2 . 7^3 + 8^{2022} + 1$ 

= $(7^3)^2 + 2 . 7^3 + 1 + 8^{2022}$ = $(7^3 + 1)^2 + 8^{2022}$ 

= $344^2 + 8^{2022}$.

Vì $344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8$ nên $344^2 ⋮ 8; 8^{2022} ⋮ 8$.

Do đó $(344^2 + 8^{2022}) ⋮ 8$

Vậy N chia hết cho 8.

Bài 5: Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất x %/năm.

a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.

b) Sau kì hạn 12 tháng, tiễn lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên đưới đạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Đáp án:

a) Sau 12 tháng, số tiền lãi bác Hoa nhận được là: a . x% (đồng)

Ta có công thức tính số tiền bác Hoa có sau 12 tháng là:

a + a . x% = a . (1 + x%) (đồng).

b) Theo đề bài, bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + x%) (đồng).

Sau khi gửi 24 tháng, số tiền lãi bác Hoa nhận được là:

a . (1 + x%) . x% (đồng).

Ta có công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau 24 tháng là:

a . (1 + x%) + a . (1 + x%) . x% = a(1 + x%)(1 + r%) = $a(1 + x%))^2$ (đồng).