I. Định lí Pythagore.

Bài 1: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Vẽ và cắt giấy để có 4 hình tam giác vuông như nhau với độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c, trong đó a, b, c có cùng đơn vị độ dài (Hình 2).

Vẽ hình vuông ABCD có cạnh là b + c như  Hình 3. Đặt 4 hình tam giác vuông đã cắt ở câu a lên hình vuông ABCD vừa vẽ, phần chưa bị che đi là hình vuông MNPQ với độ đài cạnh là a (Hình 4).

Gọi $S_1$ là diện tích của hình vuông ABCD. Gọi $S_2$ là tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông $AQM, BMN, CNP, DPQ$. So sánh $S_1$ và $S_2$

Dựa vào kết quả ở câu c, dự đoán mối liên hệ giữa $a^2$ và $b^2+c^2$

Đáp án:

a) Vẽ 4 tam giác vuông như nhau trên tờ giấy có độ dài như đề bài cho sau đó cắt 4 hình tam giác vuông đó ra

b) Vẽ thêm 1 hình vuông ABCD có cạnh b + c. Sau đó đặt 4 hình tam giác vuông đã cắt lên hình vuông vừa vẽ. Phần chưa bị che là hình vuông MNPQ

c) $S_{ABCD}$ là: $S_1 = (b+c)^2$ (đơn vị diện tích).

$S_{MNPQ}$ là: $a^2$ (đơn vị diện tích).

$S_{∆AQM}$ là: $\frac{1}{2}bc$ (đơn vị diện tích).

Tổng diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ là:

$4.\frac{1}{2}bc = 2bc$ (đơn vị diện tích).

$\Rightarrow S_{ABCD} = S_{MNPQ} + S_{∆AQM} + S_{∆BMN} + S_{∆CNP} + S_{∆DPQ}$ 

Hay $S_1 = S_2$

d) Dựa vào kết quả câu c, ta thấy $S_1 = S_2$ hay $(b+c)^2 = a^2 + 2bc$

Hay $b^2+2bc+c^2=a^2+2bc => b^2+c^2=a^2$

Bài 2: Tính độ dài đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là a.

Đáp án:

∆ABC vuông tại B, có:

$AC^2=AC^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$ (định lí Pythagore)

$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$

II. Định lí Pythagore đảo.

Bài 1: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Vẽ một tam giác ABC có $AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm$

b) Tính và so sánh diện tích của hình vuông có cạnh BC với tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC (Hình 6):

c) Kiểm tra xem góc A của tam giác ABC có phải là góc vuông hay không.

Đáp án:

a) 

b) Diện tích của hình vuông có cạnh $AB = 3 cm$ là: $3^2= 9 (cm^2)$.

Diện tích của hình vuông có cạnh $AC = 4 cm$ là: $4^2=16 (cm^2)$.

Diện tích của hình vuông có cạnh $BC = 5 cm$ là: $5^2 = 25 (cm^2)$.

Ta thấy $25 = 16 + 9$ nên diện tích của hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC.

c) A của ∆ABC là góc vuông.

Bài 2: Tam giác có ba cạnh là $20 cm, 21 cm, 29 cm$ có phải là tam giác vuông hay không?

Đáp án:

Ta có: $29^2 = 20^2 + 21^2 = 841 cm$

=> Tam giác có ba cạnh $20 cm, 21 cm, 29 cm$ là tam giác vuông (định lí Pythagore đảo)

III. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm độ dài cạnh còn lại trong mỗi trường hợp sau:

a) $AB = 8 cm, BC = 17 cm$;

b) $AB = 20 cm, AC = 21 cm$;

c) $AB = AC = 6cm$.

Đáp án:

Vì ∆ABC vuông tại A $\Rightarrow BC2^ = AB^2+AC^2$ (định lí Pythagore)

a) Với $AB=8 cm; BC=17cm$

$\Rightarrow 17^2 = 8^2 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = 225 \Rightarrow AC=15 cm$

b) $Với AB = 20 cm; AC = 21cm$

$\Rightarrow BC^2 = 20^2 + 21^2=841 \Rightarrow BC=29 cm$

c) Với $AB=AC=6cm$ $\Rightarrow BC^2 = 6^2 + 6^2 = 7^2 \Rightarrow BC = 6\sqrt{2} cm$

Bài 2: Tam giác có độ dài ba cạnh trong mỗi trường hợp sau có phải là tam giác vuông hay không?

a) $12 cm, 35 cm, 37 cm$;

b) $10 cm, 7 cm, 8 cm$;

c) $11 cm, 6 cm, 7 cm$.

Đáp án:

a) Ta có : $37^2 = 12^2 + 35^2 = 1369 (cm) \Rightarrow$ Đây là 3 cạnh của một tam giác vuông (định lí Pythagore đảo)

b) Ta có : $10^2=100 (cm) ≠ 7^2 + 8^2=113 (cm)$

$\Rightarrow$ Đây không phải là 3 cạnh của một tam giác vuông.

c) Ta có : $11^2 = 121 (cm) ≠ 6^2 + 7^2 = 85 (cm)$

$\Rightarrow$ Đây không phải là 3 cạnh của một tam giác vuông.

Bài 3: Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng 1 dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.

Đáp án:

Gọi cạnh huyền có độ dài bằng $x (dm)$.

$x^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ (dm). (định lí Pythagore)

Bài 4: Cho một tam giác đều cạnh a.

a) Tính độ dài đường cao của tam giác đó theo a.

b) Tính diện tích của tam giác đó theo a.

Đáp án:

a) Gọi AH là đường cao của ∆ABC

Xét ∆ABC 

AH cũng là đường trung tuyến => $BH = CH = \frac{a}{2}$

Xét ∆AHC ta có :

$AC^2 = AH^2 + HC^2$ (định lí Pythagore)

$\Rightarrow a^2 = AH^2 + (\frac{a}{2})^2 \Rightarrow AH^2 = \frac{3}{a^4}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) $S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{3}}{2}.{a} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (đvdt)

Bài 5: Hình 9 mô tả một thanh gỗ dài 2,6 m dựa vào một bức tường thẳng đứng. Chân thanh gỗ cách mép tường một khoảng là 1 m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là bao nhiêu mét?

Đáp án:

Bức tường thẳng đứng  => Bức tường và mặt đất tạo góc giữa bằng $90^{\circ}$

Gọi độ dài từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là x (m).

Áp dụng định lí Pythagore ta có : $2,6^2=1^2+x^2 => x^2=5,76 => x=2,4 (m)$.

Bài 6: Hình 10 mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu ngoài trời có mái che. Chiểu cao của khung phía trước khoảng 7 m, chiểu cao của khung phía sau là 6 m, hai khung cách nhau một khoảng là 5 m. Chiều dài của mái che sân khấu đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Ta có tứ giác ACKH là hình chữ nhật (có 4 góc vuông)

$=> AC=KH=5 m ; AH=CK=6 m$

$=> AB=BH-AH=7-6=1 m$

Xét ∆ABC vuông tại A có : $AB=1 m; AC=5 m$; $BC^2=AC^2+AB^2$ (định lí Pythagore)

= $5^2 + 1^2 = 26 => BC=26 m$