I. Định nghĩa

Bài 1: Cho biết các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau hay không.

Đáp án:

Các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC song song với nhau

II. Tính chất

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).

a) Hai tam giác ABD và CDB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: AB và CD; DA và BC.

b) So sánh các cặp góc: ...

c) Hai tam giác OAB và OCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: OA và OC; OB và OD.

Đáp án:

a) Xét ∆ABD và ∆CDB có:

BD chung

$\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ (so le trong)

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong)

$=> ∆ABD=∆CDB (g.c.g)$

$=> AB=CD$ và $DA=BC$ (cạnh tương ứng)

b) Ta có $∆ABD=∆CDB (cmt)$

=> $\widehat{DAB}=\widehat{BCD}$

Tương tự ta có: $∆ABC=∆CDA (g.c.g)$

=> $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$ (góc tương ứng)

c) Xét ∆OAB và ∆OCD có:

$\widehat{OAB}=\widehat{OCD}; \widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ 

$AB=CD$ => $∆OAB=∆OCD (g.c.g)$

=> $OA=OC$ và $OB=OD$ (cạnh tương ứng) 

Bài 2: Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{A} = 80^{\circ}, AB = 4 cm, BC = 5 cm$. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành $ABCD$.

Đáp án:

Xét hình bình hành ABCD: 

$CD=AB=4 cm$

$AD=BC=5 cm$

$\widehat{C}=\widehat{A}=80^{\circ}; \widehat{B}=\widehat{D}$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D} = 360^{\circ}$ 

=> $\widehat{B}+\widehat{D} = 200^{\circ}$ => $\widehat{B}=\widehat{D}= 100^{\circ}$

III. Dấu hiệu nhận biết

Bài 1:

a) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC = DA (Hình 39).

Hai tam giác ABC và CDA có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: …

ABCD có phải là hình bình hành hay không?

b) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (Hình 40).

Hai tam giác ABO và CDO có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: …

ABCD có phải là hình bình hành hay không?

Đáp án:

a) Xét ∆ABC và ∆CDA có:

$AB=CD (gt); BC=DA (gt)$

$AC chung$

=> $∆ABC=∆CDA (c.c.c)$

=> $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$

=> $AB//CD$ do $\widehat{BAC}= \widehat{DCA}$ và ở vị trí so le trong 

$AD//BC$ do $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$ và ở vị trí so le trong 

Xét tứ giác ABCD có: $AB//CD$ và $AD//BC$ 

=> ABCD là hình bình hành.

b) 

Xét ∆ABO và ∆CDO có:

$OA=OC (gt)$

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (2 góc đối đỉnh);

$OB=OD$ (gt)

=> ∆ABO=∆CDO (c.g.c)

=> $\widehat{BAO}=\widehat{DCO}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (góc tương ứng)

Tương tự ta có: ∆CBO=∆ADO (c.g.c)

=> $\widehat{OCB}=\widehat{OAD}$ hay $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$

=> $AB//CD$ do $\widehat{BAC}= \widehat{DCA}$ và ở vị trí so le trong 

$AD//BC$ do $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$ và ở vị trí so le trong 

Xét tứ giác ABCD có: $AB//CD$ và $AD//BC$ 

=> ABCD là hình bình hành.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Đáp án:

Xét ∆OAD và ∆OCB có:

$\widehat{OAD}=\widehat{OCB} (gt)$

$OA=OC (gt)$

$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (2 góc đối đỉnh).

=> ∆OAD=∆OCB (g.c.g)

=> OD=OB (cạnh tương ứng) 

Xét tứ giác ABCD có 

AC và BD là 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường 

=> ABCD là hình bình hành.

IV. Bài tập

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}; \widehat{ABC}=\widehat{CDA}$. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: …

Đáp án:

a) Xét tứ giác $ABCD$:

$\widehat{DAB}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ hay $2(\widehat{DAB}+\widehat{ABC})=360^{\circ}$ 

=> $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$ (đpcm)

b) Có: $\widehat{xAD}+\widehat{DAB}=180^{\circ}$; mà $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$ (cmt)

=> $\widehat{xAD}=\widehat{ABC}$ mà đây lại là hai góc đồng vị 

=> AD//BC.

c) Xét tứ giác ABCD có :

$\widehat{DAC}=\widehat{BCD}$

$\widehat{ABC}=\widehat{CDA} (gt)$

=> ABCD là hình bình hành.

Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Đáp án:

Ta có: Trung tuyến $BM∩CN$ tại G => G là trọng tâm ∆ABC

=> $GM=\frac{GB}{2}; GN=\frac{GC}{2}$ (1)

P là trung điểm GB (gt) => $GP=PB=\frac{GB}{2}$ (2)

Q là trung điểm GC (gt) => $GQ=QC=\frac{GC}{2}$ (3)

Từ (1)(2)(3) => $GM=GP$ và $GN=GQ$

Xét tứ giác MNPQ có : $GM=GP, GN=GQ$

=> MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42). Chứng minh:

a) $CD = MN$

b) $\widehat{BCD} + \widehat{BMN} = \widehat{DAN}$

Đáp án:

a) Xét hình bình hành ABCD, ta có: $AB=CD$

Xét hình bình hành ABMN, ta có: $AB=MN$

=> $CD=MN (= AB)$

b) Xét hình bình hành ABCD, ta có: $\widehat{BCD}=\widehat{DAB}$

Xét hình bình hành ABMN, ta có: $\widehat{BMN}=\widehat{BAN}$

Mà $\widehat{DAN}=\widehat{DAB}+\widehat{BAN}=> \widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAN}$

Bài 4: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình 43). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Đáp án:

Ta thấy $AC∩BD=O$ và $OA=OC;OB=OD$. 

Xét tứ giác ABCD, ta có: AC và BD là hai đường chéo vào giao nhau tại trung điểm O

=> ABCD là hình hành 

=> $AB=CD=100 (m)$

Bài 5: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau dó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?

Đáp án:

Xét tứ giác $ACBE$ có : 

$AE//BC và BE//AC$

=> $ACBE$ là hình bình hành => $AC=BE, BC=AE, \widehat{ACB}=\widehat{AEB}$

Bạn Hùng chứng minh được tứ giác $ACBE$ là hình bình hành có các tính chất trên, đo độ dài các đoạn thẳng BE, AE và đo $\widehat{AEB}$. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo $\widehat{ACB}$.