I. KHÁI NIỆM VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Định nghĩa

HĐ1:

a) Biểu thức 2x + 1 là đa thức.

b) Biểu thức x - 2 là đa thức khác đa thức 0.

Kết luận:

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng PQ ,trong đó, P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.
• P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được gọi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức.

Ví dụ 1 (SGK – tr.30)

Luyện tập 1:

a) Do x$^{2}$y + xy$^{2}$ và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức $\frac{x^{2}y+xy^{2}}{x-y}$ là phân thức.

b) Do biểu thức $\frac{1}{x}$ không phải là các đa thức nên biểu thức $\frac{x^{2}-1}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

HĐ2:

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là: Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Kết luận: Hai phân số $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A . D = B . C, viết là $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$.

Ví dụ 2 (SGK – tr.30)

Luyện tập 2:

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x – y và (x$^{2}$ – y$^{2}$) . 1 = x$^{2}$ – y$^{2}$.

Nên (x + y)(x – y) = (x$^{2}$ – y$^{2}$) . 1.

Vậy $\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{x-y}$

b) Ta có: x(x – 1) = x$^{2}$ – x và (x$^{2}$ – 1) . 1 = x$^{2}$ – 1

Do x(x – 1) ≠ (x$^{2}$ – 1) . 1 nên hai phân thức $\frac{x}{x^{2}-1}$ và $\frac{1}{x-1}$ không bằng nhau.

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

1. Tính chất cơ bản

HĐ3:

a) Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, ta có: 

$\frac{2}{-7}=\frac{2.2}{-7.2}=\frac{4}{-14}$

Do đó số cần điền vào ⍰ là –14 .

$\frac{-3}{9}=\frac{(-3):(-3)}{(-9):(-3)}=\frac{1}{3}$

Do đó số cần điền vào ⍰ là 1.

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.
• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một ước chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Kết luận:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{P}{Q}=\frac{P.M}{Q.M}$ với M là một đa thức khác đa thức 0.

1. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{P}{Q}=\frac{P:N}{Q:N}$ với N là một nhân tử chung của P và Q.

Ví dụ 3 (SGK – tr.31)

Lưu ý: Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{-P}{-Q}=\frac{P}{Q};\frac{P}{-Q}=\frac{-P}{Q}$

Ví dụ 4 (SGK – tr.31-32)

Luyện tập 3:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

$\frac{3x+y}{y}=\frac{(3x+y).y}{y.y}=\frac{3xy+y^{2}}{y^{2}}$ (theo tính chất cơ bản của phân thức).

2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

HĐ 4: 

a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.

b) Ta có: $\frac{4x^{2}y}{6xy^{2}}=\frac{4x^{2}y:2xy}{6xy^{2}:2xy}=\frac{2x}{3y}$

Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là $\frac{2x}{3y}$.

Nhận xét: Muốn rút gọn phân thức, ta có thể làm như sau: 

• Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).
• Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ 5 (SGK – tr.32)

Luyện tập 4:

a) $\frac{8x^{2}+4x}{1-4x^{2}}$

$=\frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}$

$=\frac{[4x(2x+1)]:(2x+1)}{[(1-2x)(1+2x)]:(2x+1)}$

$=\frac{4x}{1-2x}$

b) $\frac{x^{3}-xy^{2}}{2x^{2}+2xy}=\frac{x(x^{2}-y^{2})}{2x(x+y)}$

$=\frac{x(x+y)(x-y)}{2x(x+y)}=\frac{[x(x+y)(x-y)]:[x(x+y)]}{[2x(x+y)]:[x(x+y)]}=\frac{x-y}{2}$

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

HĐ5: 

a) Cho hai phân thức $\frac{1}{x^{2}y}$ và $\frac{1}{xy^{2}}$

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

$\frac{1}{x^{2}y}=\frac{1.y}{x^{2}y.y}=\frac{y}{x^{2}y^{2}}$

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

$\frac{1}{xy^{2}}=\frac{1.x}{xy^{2}.x}=\frac{x}{x^{2}y^{2}}$

b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng $x^{2}y^{2}$.

Nhận xét: Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

HĐ6: (SGK – tr.33) 

Mô tả cách tìm mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{5}{2x+6}$ và $\frac{3}{x^{2}+9}$.

HĐ7: (SGK – tr.33-34) 

• Bước 1: Chọn mẫu thức chung là x(x - 1)(x + 1)
• Bước 2: Tìm nhân tử chung của mỗi mẫu thức

[x(x - 1)(x + 1)]:[x(x + 1)] = x - 1

[x(x - 1)(x + 1)]:[x(x - 1)] = x + 1

• Bước 3: 

$\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{1}{x)(x+1)}=\frac{x-1}{x)(x+1)(x-1)}$

$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{1}{x)(x-1)}=\frac{x+1}{x)(x+1)(x-1)}$

Nhận xét: Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

• Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm MTC
• Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)
• Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 6 (SGK – tr. 34)

Luyện tập 5:

a) $\frac{5}{2x^{2}y^{3}}$ và $\frac{3}{xy^{4}}$

Ta có MTC: 2x$^{2}$y$^{4}$

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{5}{2x^{2}y^{3}}=\frac{5.y}{2x^{2}y^{3}}=\frac{5y}{2x^{2}y^{4}}$

$\frac{3}{xy^{4}}=\frac{3.2x}{xy^{4}.2x}=\frac{6x}{2x^{2}y^{4}}$

b) $\frac{3}{2x^{2}-10x}$ và $\frac{2}{x^{2}-25}$

Ta có $\frac{3}{2x^{2}-10x}=\frac{3}{2x(x-5)}$

x$^{2}$ - 25 = x$^{2}$ - 5$^{2}$ = (x + 5)(x - 5)

Suy ra MTC: 2x(x + 5)(x - 5)

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{3}{2x^{2}-10x}=\frac{3}{2x(x-5)}=\frac{3(x+5)}{2x(x-5)(x+5)}$

$\frac{2}{x^{2}-25}=\frac{2}{(x-5)(x+5)}=\frac{4x}{2x(x-5)(x+5)}$

III. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

HĐ8:

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2.

Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

Kết luận: Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phân thức.

Ví dụ 7 (SGK – tr.35)

HĐ9: 

Giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1}$ tại x = 4 là $\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}$ = 2.

Kết luận: Cho phân thức $\frac{P}{Q}$. Giá trị của biểu thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá tri của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến đó.

Ví dụ 8 (SGK – tr.35)

Ví dụ 9 (SGK – tr.35-36)

Nhận xét: Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phần thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

Luyện tập 6:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+1}{x^{2}+x}$ là x$^{2}$ + x ≠ 0.

b) Với x = 10 ta thấy x$^{2}$ + x = 10$^{2}$ + 10 = 100 + 10 = 110 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là: 

$\frac{10+1}{10^{2}+10}=\frac{11}{100+10}=\frac{11}{110}=\frac{1}{10}$

Vậy giá trị của phân thức tại x = 10 là $\frac{1}{10}$

Với x = −1 ta thấy x$^{2}$ + x = (-1)$^{2}$ + (-1) = 1 – 1 = 0.

Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.