BÀI 3. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

I. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Quan sát tam giác ABC ở Hình 29 và cho biết hai đầu mút D, E của đoạn thẳng DE có đặc điểm gì. 

Giải nhanh:

D là trung điểm của đoạn thẳng AB, E là trung điểm của đoạn thẳng AC. 

Bài 2: Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.

Giải nhanh:

II. TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).

a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?

b) Tỉ số bằng bao nhiêu?

Giải nhanh:

a) nên                      b)  

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a) M, N, P thẳng hàng.                       b) MN= (AB+CD).

Giải nhanh:

a) + Xét , ta có: là đường trung bình => và  

+ Xét , ta có: là đường trung bình => và (2)

Mà AB // CD nên theo Tiên đề Ơclit ta có M, N, P thẳng hàng.

b) Từ (1) và (2) => MN = MP + PN (AB + CD)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thỏa mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và MN = BC.

Giải nhanh:

Do :  => là trung điểm của hay

Theo định lý Thales:  =>

Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

a) MN // CP                    b) AQ = QM                            c) CP = 4PQ.

Giải nhanh:

a) Ta có => là trung điểm của

Mà là đường trung tuyến => là trung điểm của

=> là đường trung bình của => .

b)  => . Mà là trung điểm của nên .

c) Ta có MN là đường trung bình của => .

là đường trung bình của => =>

Bài 3:  Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

c) Cho AC ⊥ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải nhanh:

a) Xét có lần lượt là trung điểm của và

=> là đường trung bình của . => và (1)

Xét có lần lượt là trung điểm của và .

=> là đường trung bình của => và (2)

Từ (1) và (2) => MN // PQ và MN = QP  => là hình bình hành.

b) Xét có lần lượt là trung điểm của và .

=> là đường trung bình của   => và .

Mà nên . Suy ra là hình thoi.

c) Ta có => . Do đó tứ giác là hình chữ nhật.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải nhanh:

Tam giác ABH có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH.

Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AH và MN = AH (1)

Tam giác ACH có: P, Q lần lượt là trung điểm của CH, AC.

Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AH và PQ = AH (2)

Từ (1)(2) suy ra: MN // PQ và MN = PQ => MNPQ là hình bình hành (3)

Ta có: MN // AH; Mà AH ⊥ BC => MN ⊥ BC

Mà MQ // BC; Do đó: MN ⊥ MQ (4). Từ (3)(4) => MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 5: Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số 1 và số 2, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?

Giải nhanh:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN = BC hay BC = 2MN

Khoảng cách đó bằng 2.MN = 2.4,5 = 9 m.