BÀI 30: ĐA GIÁC ĐỀU

1.ĐA GIÁC ĐỀU

Giải nhanh hoạt động 1 trang 84 sgk toán 9 tập 2 kntt

Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R

- Lần lượt lấy các điểm A,B,C,D,E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho:

Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau(H9.39).

Giải nhanh:

Mỗi đoạn AB, BC, CD, DE, EA chắn các cung có số đo đều là 72^o

Nên AB = BC = CD = DE = EA

Xét ∠BAE chắn các cung nhỏ BC,CD,DE bằng nhau.

Tương tự các góc còn lại cũng chắn các cung bằng nhau

 =>  ∠BAE =  ∠AED =  ∠EDC =  ∠DCB =  ∠CBA

Giải nhanh câu hỏi trang 85 sgk toán 9 tập 2 kntt

Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính 2cm (H9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu cm? Số đo của các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Giải nhanh:

Tổng số đo 6 góc của lục giác đều là 720^o  =>  số đo 1 góc là 120^o

OF = OE = 2cm

∠EOF = 60^o

 => OF = OE = EF = 2cm

Vậy cạnh của lục giác đều là 2cm , mỗi góc của lục giác đều là 120^o

Giải nhanh luyện tập 1 trang 86 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho M,N,P,Q,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE và EA của ngũ giác đều ABCDE(H9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?

Giải nhanh:

Ta có AK = KA;AM = MB

 => KM là đường trung bình của ΔABE

 => KM = BE

Tương tự ta có:

NM = AC; NP = BD; PQ = CE; QK = AD   (1)

Xét ΔABE ; ΔBAC; ΔCBD; ΔDCE; ΔEAD có:

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E(ngũ giác đều)

AB = BC = CD = DE = EA

 =>  ΔABE  =  ΔBAC = ΔCBD =  ΔDCE =  ΔEAD(c.g.c)

 => AC = BD = CE = DA = EB   (2)

Từ 1 và 2 => MN = NP = PQ = QK = KM

 => ngũ giác MNPQK là ngũ giác đều.

Thử thách nhỏ 1 trang 87 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho một bát giác đều(đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O(H9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Giải nhanh:

Tổng góc trong hình bát giác được tính bằng công thức: 

(số đỉnh- 2).180 = (8- 2).180 = 1080 độ

 =>  số đo 1 góc của bát giác đều là 1080: 8 = 135^o

2. PHÉP QUAY 

Giải nhanh hoạt động 2 trang 87 sgk toán 9 tập 2 kntt

Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm A trên bàn xoay hình tròn với tâm O sao cho điểm A khác điểm O. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ (H9.46) thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm B.

Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm A,B có cùng nằm trên đường tròn tâm O hay không?

Giải nhanh:

Khoảng cách 2 điểm A, B đến O là bằng nhau  => OA = OB

Nên hai điểm A, B cùng nằm trên đường tròn tâm O.

Giải nhanh hoạt động 3 trang 87 sgk toán 9 tập 2 kntt

Trên bàn xoay tâm O, vẽ tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn (O) và hai tia OA,OB(H9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB( ở vị trí ban đầu), điểm A có di chuyển đến vị trí của điểm B không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn (O)? Khi đó, điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Giải nhanh:

Điểm A di chuyển đến vị trí của điểm B và di chuyển trên cung nhỏ AB.

Khi đó, điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm A.

Giải nhanh câu hỏi trang 88 sgk toán 9 tập 2 kntt

a) Phép quay ngược chiều 180^o tâm O biến điểm A thành điểm A’. Hỏi điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O hay không?

b) Nếu phép quay thuận chiều αᵒ tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều αᵒ tâm O có biến điểm B thành điểm A hay không?

Giải nhanh:

a) Điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O.

b) Có. 

Giải nhanh luyện tập 2 trang 88 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như hình 9.50.

a) Phép quay thuận chiều 90ᵒtâm O biến các điểm A,B,C,D thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông ABCD không?

b) Hãy liệt kê thêm 3 phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng giữ nguyên hình vuông ABCD.

Giải nhanh:

a) -  B,C,D,A

   -  Có giữ nguyên hình vuông ABCD.

b) 3 phép quay khác: 

- Phép quay tâm A góc quay 90ᵒ theo hướng cùng hoặc ngược kim đồng hồ đều được.

- Phép quay tâm B góc quay 90ᵒ theo hướng cùng hoặc ngược kim đồng hồ đều được.

- Phép quay tâm O góc quay 180ᵒ theo hướng cùng hoặc ngược kim đồng hồ đều được.

Thử thách nhỏ 2 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên 1 lục giác đều nội tiếp một đường tròn(O).

Giải nhanh:

6 phép quay tương ứng với 6 tâm quay của các đỉnh của hình lục giác, với góc quay là 60ᵒ;120ᵒ;….

3. GIẢI NHANH BÀI TẬP CUỐI SGK

Giải nhanh bài 9.24 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Trong các hình phẳng sau(H9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Giải nhanh:

Hình b và d 

Giải nhanh bài 9.25 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Trong các hình dưới đây(H9.53), hình nào vẽ 2 điểm M và N thỏa mãn phép quay thuận chiều 60ᵒ tâm O biến điểm M thành điểm N?

Giải nhanh:

Hình d 

Giải nhanh bài 9.26 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Giải nhanh:

2cm =

AB = 2

Vậy AB = BC = CA = 2

Giải nhanh bài 9.27 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho hình thoi ABCD có Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Giải nhanh:

Ta có AQ = QD(gt); AM = MB(gt)

 => QM = BD  (1)

Có CP = PD(gt); CN = NB(gt)

 => PN = BD   (2)

Mà => AD = AB = BD

 =>  QD = QM = MB  (3)

Tương tự , vì ABCD là hình thoi  => ∠C = 60ᵒ

 => PD = PN = NB   (4)

Từ 1,2,3 và 4 => QM = MB = BN = NP = PD = DQ

 => Lục giác MBNPDQ là lục giác đều.

Giải nhanh bài 9.28 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình 9.54. Phép quay ngược chiều 60ᵒtâm O biến các điểm A,B,C lần lượt thành các điểm D,E,F. Chứng minh rằng ADBEDF là một lục giác đều.

Giải nhanh:

Phép quay ngược chiều 60ᵒtâm O biến các điểm A,B,C lần lượt thành các điểm D,E,F

 => OAD; ODB; OBE; OEC; OCF; OFA là các tam giác đều 

 => AF = FC = CE = EB = BD = DA

 => ADBECF là lục giác đều

Giải nhanh bài 9.29 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm O.

Giải nhanh:

- Phép quay tâm O góc quay 0°

- Phép quay tâm O góc quay 72°

- Phép quay tâm O góc quay 144°

- Phép quay tâm O góc quay 216°

- Phép quay tâm O góc quay 288°

Giải nhanh bài 9.30 trang 89 sgk toán 9 tập 2 kntt

Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như hình 9.55. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Giải nhanh:

Để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm 135 độ.