BÀI 2. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. PHƯƠNG PHÁP THẾ

Giải nhanh hoạt động 1 trang 11 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải nhanh:

1. x + y = 3 => y = 3 – x thay vào 2x – 3y = 1 ta được:

2x – 3(3 – x) = 1

<=> x = 2

2. x = 2 => y = 3 – 2 = 1. Vậy (2; 1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải nhanh luyện tập 1 trang 12 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)             b)

Giải nhanh:

a) Từ phương trình x – 3y = 2 ta có x = 2 + 3y.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được -2(2+3y)+5y = 1 hay -4 – y = 1 => y = -5 =>  x = 2 + 3.(-5) = -13

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-13; -5).

b) Từ phương trình 4x + y = -1 ta có y = -1 – 4x.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 7x + 2(-1-4x)=1 hay -x -2 = 1 =>  x = -3 => y = -1 – 4.(-3) = 11.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-3; 11)

Giải nhanh luyện tập 2 trang 12 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải nhanh:

Ta có -2x + y = 3 hay y = 3 + 2x, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

4x – 2(3 + 2x) = -4 <=> 0x = 2 (vô lý)

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Giải nhanh luyện tập 3 trang 12 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải nhanh:

Ta có x + 3y = -1 hay x =1 3y (2), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

3(-1 – 3y) + 9y = -3 <=> 0y = 0 (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi y thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1 – 3y; y) với y tùy ý.

Giải nhanh vận dụng 1 trang 12 sgk toán 9 tập 1 kntt

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y .

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Giải nhanh:

a) Số cây cải trồng trong vườn là xy

Nếu tăng thêm 8 luống và số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi, số bắp cải của cả vườn sẽ ít đi 108 

=>  (x+8)(y-3) + 108 = xy =>  -3x + 8y = -84.

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây thì số bắp cải và cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây 

=> (x-4)(y+2)-64 = xy =>  2x – 4y = 72.

=> Hệ phương trình

b) -3x + 8y = -84 => x = thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 

2. <=> y = 12.

y = 12 => x = = 60

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.

2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Giải nhanh hoạt động 2 trang 13 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hệ phương trình Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải nhanh:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

(2x + 2y) + (x – 2y) = 6 + 3 <=> x = 3

2. x = 3 thay vào phương trình thứ hai ta có: 3 – 2y = 6 => y =

Vậy là nghiệm của hệ phương trình

Giải nhanh luyện tập 4 trang 14 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a)             b)

Giải nhanh:

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được -2y = -8 suy ra y = 4.

Thế y = 4 vào phương trình đầu ta được – 4x + 3.4 = 0 <=> -4x = -12 => x = 3.

Vậy (3; 4) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được (4x + 3y) – (x + 3y) = 0 – 9 => 3x = -9 => x = -3.

Thế x = -3 vào phương trình số hai ta được – 3 + 3.y = 9 nên 3y = 12 suy ra y = 4.

Vậy (-3; 4) là nghiệm của hệ phương trình.

Giải nhanh luyện tập 5 trang 14 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Giải nhanh:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ 2 với 2 ta được:

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (12x + 9y) + (-12x+20y) = 18 + (-8) nên 29y = 10 => y =

Thế y = vào phương trình thứ nhất ta được: 

4x + 3. = 6 <=> 4x = <=> x =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Giải nhanh luyện tập 6 trang 14 sgk toán 9 tập 1 kntt

Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình

Giải nhanh:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được -2x + 2y = 4 

Hệ phương trình đã cho trở thành

Trừ từng vế của hai phương trình ta được

(-2x+2y)-(-2x+2y)=4-8 suy ra 0x + 0y = -4 (vô lí)

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Giải nhanh thực hành trang 15 sgk toán 9 tập 1 kntt

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)

b)

c)

Giải nhanh:

a)

b) Vô nghiệm.

c) Vô số nghiệm.

Giải nhanh vận dụng 2 trang 16 sgk toán 9 tập 1 kntt

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililít dung dịch HCl nồng độ 20%, y là số mililít dung dịch HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

- Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

- Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch HCl ở trên. 

Giải nhanh:

Khối lượng riêng của dung dịch HCl là 1,49 g/cm³ _.

Đổi 2l = 2000ml

Khối lượng mol của HCl: 36,5 g/mol

a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là 2 lít nên ta có phương trình x + y = 2000 (ml).

Tổng số gam HCL nguyên chất sau pha là: 

b) Từ câu a ta có hệ phương trình:

Từ phương trình đầu ta có x = 2000 – y thay vào phương trình thứ hai ta được 4(2000 -y) + y = 4000 suy ra 8000 – 3y = 4000 nên y = Thế y = vào phương trình thứ nhất ta được x =

Vậy cần lấy

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Giải nhanh bài 1.6 trang 16 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)      b) c)

Giải nhanh:

a)

Từ phương trình đầu ta có x = 3 + y thế vào phương trình thứ hai ta được 

3(3+y) -4y = 2 <=> y = 7. Thế y = 7 vào phương trình đầu ta có x = 10.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (10; 7)

b)

Từ phương trình thứ hai ta có y = 2 – 4x thế vào phương trình đầu ta được 

7x – 3(2-4x) = 13 <=> x = 1. Thế x = 1 vào phương trình thứ hai ta có y = -2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; -2).

c)

Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y -2 thế vào phương trình đầu ta được 

0,5 (3y-2) – 1,5y = 1 <=> 0y = 2 (vô lí).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Giải nhanh bài 1.7 trang 16 sgk toán 9 tập 1 kntt

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)  b)      c)

Giải nhanh:

a)  

Cộng từng vế của hai phương trình ta có:

(3x + 2y) + (2x – 2y) = 6 + 14 <=> x = 4.

Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất ta được:

3.4 + 2y = 6 <=> y = -3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; -3).

b)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được 1,5x + 1,5 y = 9, vậy hệ đã cho trở thành

Trừ từng vế của hai phương trình ta có:

(1,5x + 1,5y) – (1,5x -2y) = 9 – 1,5 <=> y =

Thế y = vào phương trình thứ hai ta được 1,5 x – 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

c)

Nhân ca hai vế của phương trình thứ nhất với ta được -x+3y=4, nhân cả hai vế cả phương trình thứ hai với ta được x – 3y = -4.

Vậy hệ đã cho trở thành

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (-x + 3y) + (x -3y) = 4 + (-4) nên 0x + 0y = 0 (luôn đúng).

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (3y – 4; y) với y .

Giải nhanh bài 1.8 trang 16 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hệ phương trình trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) m = -2;         b) m = -3;         c) m = 3.

Giải nhanh:

a) Thay m = -2 vào hệ phương trình đã cho ta được

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được 8x – 4y = -12, nên hệ phương trình đã cho trở thành

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (8x – 4y) + (-8x + 9y) = (-12) + 3 nên 5y = -9 suy a y =

Thế y = vào phương trình 2x – y = -3 ta được 2x - = -3 suy ra x =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

b) Thay m = -3 vào hệ phương trình đã cho ta được

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với ta được – 2x + y = 0, nên hệ phương trình đã cho trở thành

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (2x – y) + (-2x + y) = -3 + 0 nên 0x  + 0y = -3 (vô lí).

Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) Thay m = 3 vào hệ phương trình đã cho ta được

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với nên hệ phương trình đã cho trở thành

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (2x – y) + (-2x+y) = -3 + 2 nên 0x + 0y = -1 (vô lí)

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

Giải nhanh bài 1.9 trang 16 sgk toán 9 tập 1 kntt

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a)

b) Vô số nghiệm.

c)

c)