Video giảng Toán 11 kết nối Bài 7: Cấp số nhân

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN

Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân.
• Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
• Tính được tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân.
• Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân.

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Bây giờ cô muốn các em đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐỊNH NGHĨA 

Nội dung 1:

Giờ chúng ta sẽ cùng khám phá hoạt động 1 thật thú vị. Các em sẵn sàng chưa?

Video trình bày nội dung: 

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u₁ = 3 . 2¹ = 6; 

u₂ = 3 . 2² = 12; 

u₃ = 3 . 2³ = 24; 

u₄ = 3 . 2⁴  = 48; 

u₅ = 3 . 2⁵ = 96. 

b) Ta có: un-1=3.2n-1=3.2n21=3.2n2=un2,

suy ra un=un-1.2.

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n –1} là: 

u1=6, un=un-1.2 với n≥2

Kết luận

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

+ Cấp số nhân (un) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

un=un-1.q với n≥2.

Câu hỏi

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 1 : (SGK – tr.52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52).

Ví dụ 2: (SGK – tr .52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr53).

Luyện tập 1

Với mọi n≥2, ta có:

unun-1=2.5n2.5n-1=5n5n5=5

Tức là u5=5un-1 với mọi n≥2.

Vậy (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁= 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Nội dung 2

Các em cùng nhau thảo luận và làm hoạt động số 2 nhé.

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: u₂ = u₁ . q;

u₃ = u₂ . q = (u₁ . q) . q = u₁ . q²; 

u₄ = u₃ . q = (u₁ . q²) . q = u₁ . q³; 

u₅= u₄ . q = (u₁ . q³) . q = u₁ . q⁴. 

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo 

u1 và q là un=u1.qn-1 với n≥2

Kết luận

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1.qn-1 với n≥2.

Ví dụ 3: (SGK – 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Ví dụ 4: (SGK – tr. 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53, 54).

Luyện tập 2.

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u₆ là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u6=u1.q6-1=5000.1,085≈7 347

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Nội dung 3 

Chia nhóm và thảo luận, thực hiện hoạt động 3 và xây dựng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân nào!

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; 

u_{n –1}= u₁ . q^{n – 1– 1}=u₁ . q^{n – 2}; u_n= u₁ . q^{n –1}. 

Do đó, S_n=u₁+u₂+ ... + u_{n – 1}+ u_n 

= u₁+u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2}+ u₁ . q^{n – 1} (1). 

b) Ta có: 

q . S_n =q . (u₁ +u₁ . q + ... + u1 . q^{n – 2}+u₁ . q^{n –1}) 

q . S_n=u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n –1}+u₁ . qⁿ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n =u₁ +u₁ . q + … + u₁ . q^{n – 2}+u₁ . q^{n –1} –(u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n –1} + u₁ . qⁿ)  

 1 – qS_n = u₁ – u₁ . qⁿ 

 1 – qS_n = u₁(1 – qⁿ) 

Sn=u11-qn1-q với q≠1.

Kết luận

Cho cấp số nhân (un) với công bội q≠1. Đặt Sn=u1+u2+…+un. Khi đó 

Sn=u11-qn1-q

Câu hỏi

Nếu cấp số nhân có công bội q=1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, ..., u₁,... Khi đó

S_n=u₁+u₁+ ... + u₁=n . u₁ (tổng của n số hạng u₁).

Ví dụ 5: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 6: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Vận dụng

Ta có: 3 năm bằng 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁=15 và công sai d=1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là:

S12=1222u1+12-1d 

       =62.15+11.1,5=279 (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3=15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁'=15 và công bội q=1,05. 

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý là

S12'=u1'1-q121-q=151-1,05121-1,05≈238,76 (triệu đồng).

+ Vì 279>238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

……………………..

Nội dung video Bài 7 Chương 2 còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.