Video giảng Toán 11 kết nối Bài 6: Cấp số cộng

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG

Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết được cấp số cộng.
• Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
• Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
• Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng.

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Trước khi vào bài, cô muốn các em đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ 3 và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐỊNH NGHĨA 

Nội dung 1:

Các em cùng nhau thảo luận và làm hoạt động số 1 nhé.

Video trình bày nội dung: 

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Nhận thấy trong dãy số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_{n – 1} là un-1 là un=un-1+2

Kết luận:

+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

+ Cấp số cộng (un) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

un=un-1+d với n≥2.

Câu hỏi

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

=> Đây là một dãy số hằng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.48)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.48).

Ví dụ 2: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 1

Ta có: un-1=-2n-1+3=-2n+2+3=-2n+5

Do đó, un-un-1=-2n+3--2n+5=-2 với mọi n≥2

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁= –2 . 1+3=1 và công sai d= –2.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Nội dung 2

Chúng ta bắt đầu hoạt động 2 tiếp theo nhé. Các em cùng nhau thảo luận và thực hiện thử xem.

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: u₂ = u₁ + d;

u₃ = u₂ + d = (u₁ + d) + d = u₁ + 2d; 

u₄ = u₃ + d = (u₁ + 2d) + d = u₁ + 3d; 

u₅ = u₄ + d = (u₁ + 3d) + d = u₁ + 4d.

b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u_n theo u₁ và d là:

u_n = u₁ + (n – 1)d.

Kết luận:

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định theo công thức:

un=u1+n-1d.

Ví dụ 3: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Ví dụ 4: (SGK - tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 2.

Ta có: 

u_n – u_{n – 1}= (4n – 3) – [4(n –1) – 3] 

= 4n – 3 – (4n – 4 – 3) = 4, 

với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁=4 . 1 – 3=1 và công sai d= 4.

Số hạng tổng quát là: u_n=1+(n –1). 4

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Nội dung 3

Các em ơi, cô muốn nghe các nhóm chia sẻ về cách làm hoạt động 3 này. Bắt đầu nào!

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: u₂ = u₁ + d; ...; 

u_{n – 1}= u₁ + (n – 1 – 1)d = u₁+ (n – 2)d;  

u_n=u₁ + (n – 1)d. 

S_n= u₁+ u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n 

= u₁ + (u₁ + d) + ... + [u₁ + (n – 2)d] + [u₁ + (n – 1)d] 

b) S_n = u_n + u_{n – 1} + ... + u₂ + u₁

=[u₁+ (n – 1)d] + [u₁ + (n – 2)d] + ... + (u₁ + d) + u₁ 

c) Ta có:

S_n + S_n = {u₁ + (u₁ + d) + ... + [u₁ + (n – 2)d] + [u₁ + (n – 1)d]} + {[u₁ + (n – 1)d] + [u₁ + (n – 2)d] + ... + (u₁ + d) + u₁} 

2S_n=u₁ + u₁+n – 1d+ u₁+d+ u₁+ n – 2d+ ... + {[u₁ + (n – 2)d] + (u₁+d)}+{[u₁ + (n – 1)d]+u₁} 

2S_n = [2u₁ + (n – 1)d] + [2u₁ + (n – 1)d] + ... + [2u₁+(n –1)d] + [2u₁ + (n – 1)d] 

2S_n = n . [2u₁ + (n – 1)d] 

 S_n = [2u₁ + (n – 1)d]. 

Kết luận

Cho cấp số cộng (un) với công sai d. Đặt Sn=u1+u2+…+un. Khi đó

Sn=n22u1+n-1d.

Chú ý:

Sử dụng công thức un=u1+n-1d, ta có thể viết tổng Sn dưới dạng:

Sn=nu1+un2.

Ví dụ 5: (SGK – tr.50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Ví dụ 6: (SGK – tr. 50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Vận dụng

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

S10=u1+u2+…+u10 

=1022u1+10-1d 

=102(2.100+9.20)  

=1900 

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.

……………………..

Nội dung video Bài 6 Chương 2 còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.