Video giảng Toán 11 kết nối Bài 5: Dãy số

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5. DÃY SỐ

Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
• Thể hiện được các cách cho một dãy số: bằng liệt kê các số hạng (đối với dãy số hữu hạn và có ít số hạng); bằng công thức của số hạng tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả.
• Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản.

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Bây giờ cô muốn các em đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân P_n (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức P_n = 500(1 + 0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. DÃY SỐ VÔ HẠN

Nội dung 1:

Các em ơi, giờ chúng ta sẽ cùng nhau khám phá hoạt động 1 thật thú vị. Nhưng trước khi bắt đầu, ai có thể nhắc lại cho cô nghe thế nào là một số chính phương không nào?

Video trình bày nội dung: 

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u1=02=0

Số chính phương thứ hai là u₂=1²=1

Số chính phương thứ ba là u₃=2²=4

Số chính phương thứ tư là u₄=3²=9

Số chính phương thứ năm là u₅=4²=16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n=n –1² với n  N^*.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u=u(n).

+ Ta thường viết un thay cho u(n) và ký hiệu dãy số u=u(n) bởi (un), do đó dãy số (un) được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…, un,... Số u1 gọi là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý

Nếu ∀n∈N*, un=c thì (un) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn

Nội dung 2.

Bây giờ các em chia nhóm thảo luận và thực hiện hoạt động 2 nha!

Video trình bày nội dung: 

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: u_n=n –1² với nN^* và n ≤ 8.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m} với m∈N* được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u1, u2,…, um. Số u1 gọi là số hạng đầu, số um gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

Luyện tập 1.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q+1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n=5n+1 (n∈N^*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u₁=6, số hạng cuối của dãy là u₅=26.

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Nội dung 3:

Các em tiếp tục thảo luận, thực hiện hoạt động 3 và đưa ra câu hỏi: “thế nào là số nguyên tố” nhé!

Video trình bày nội dung: 

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u_n=5n (nN^*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u₁=5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u_n=u_n–1+5 (nN^*, n>1).

Kết luận:

Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.44)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 4: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý:

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.

- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 5: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 6: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n=n! là

u1=1!=1 

u2=2!=2 

u2=3!=6 

u4=4!=24 

u5=5!=120 

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) là

F1=1 

F2=1 

F₃=F₂+F₁=1+1=2; 

F₄=F₃+F₂=2+1=3; 

F₅=F₄+F₃=3+2=5. 

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (un) với un=-1n2n. Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là: 

u1=-12, u2=14, u3=-18, u4=116, u5=-132 và được biểu diễn trên trục số như trên.

3. NHẬN BIẾT DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Nội dung 4.

Bắt tay vào thảo luận và thực hiện hoạt động 4 thôi nào!

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: 

un+1=3n+1-1=3n+3-1=3n+2 

Xét hiệu un+1-un ta có: un+1-un=3n+2-3n-1=3>0, tức là un+1>un, ∀n∈N*.

Vậy u_{n + 1}>u_n  nN^*.

b) Ta có: vn+1=1n+12.

Xét hiệu vn+1-vn ta có: 

vn+1-vn=1n+12-1n2 

=n2-n+12n2n+12=n2-n2+2n+1n2n+12 

=-2n+1n2n+12<0, ∀n∈ ℕ^* 

Tức là vn+1<vn, ∀n∈N*

Vậy vn+1<vn, ∀n∈N*.

Kết luận:

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: un+1>un với mọi n∈ ℕ^*.

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 với mọi n∈ ℕ^*.

Ví dụ 7: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Luyện tập 3

Ta có: un=1n+1, un+1=1n+1+1=1n+2

un+1-un=1n+2-1n+1=n+1-n+2n+1n+2 

=-1n+1n+2<0, ∀n∈N* 

Tức là un+1<un, ∀n∈N*

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

2. Nhận biết dãy số bị chặn

Nội dung 5.

Chúng ta tiếp tục thảo luận và thực hiện hoạt động 5 nhé!

Video trình bày nội dung: 

a) Ta có: un=n+1n=1+1n>1, ∀n∈N*

b) Ta có: 1n≤1, ∀n∈N* 

suy ra 1+1n≤1+1=2, ∀n∈N* 

Do đó, un=1+1n≤2, ∀n∈N*. 

Kết luận

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un≤M với ∀n∈N*.

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un≥m, ∀n∈N*.

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho m≤un≤M, ∀n∈N*.

Ví dụ 8: (SGK – tr45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).  

Câu hỏi phụ

Ta có: un=4n+5n+1>0, ∀n∈N*

un=4n+5n+1=4n+1+1n+1=4+1n+1≤4+12=92, ∀n∈N* 

Suy ra 0<un<92, ∀n∈N*

Vậy dãy số (un) bị chặn.

Luyện tập 4

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n – 1 ≤ M với mọi n  N^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng

a) Ta có: 

s2=s1+25=200+25=225 

s₃=s₂+25=225+25=250 

s₄=s₃+25=250+25=275 

s₅=s₄+25=275+25=300 

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: 

sn=sn-1+25⟺sn-sn-1=25>0 với mọi n≥2, n∈N*

Tức là sn>sn-1với mọi n ≥ 2, n  N^*.

Vậy (s_n) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc

……………………..

Nội dung video Bài 5 Chương 2 còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.