Slide bài giảng Toán 11 chân trời Chương 4 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Tóm lược nội dung

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Khám phá 1 (Trang 113):

Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vé lại với các đỉnh là A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng.

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung.

c) Không có bất kì điểm chung nào.

Trả lời rút gọn: 

a) Các cặp mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng là:

(ABC) và (ABD); (AA'B) và (ABB'); (BB'C) và (BCC');...

b) Không có cặp mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Các cặp mặt phẳng không có điểm chung nào là:

(ABCD) và (A'B'C'D'); (ADD'A') và (BCC'B'); (ABB'A') và (DCC'D')

Vận dụng 1 (Trang 114):

Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.

Trả lời rút gọn: 

Bìa của cuốn sách song song với nhau, các tấm ngăn đứng song song với nhau, các tấm ngăn ngang của kệ sách song song với nhau.

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Khám phá 2 (Trang 114):

Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Gải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a, b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Trả lời rút gọn: 

a) cùng nằm trong , mà hai đường thẳng cắt nhau nên phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng và . Điều này trái với giả thiết cùng song song với .

b) và không có điểm chung, suy ra

Thực hành 1 (Trang 115):

Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD).

Trả lời rút gọn: 

Ta có lần lượt là đường trung bình của tam giác và , suy ra . 

Mặt khác và cùng chứa trong , suy ra

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Khám phá 3 (Trang 115):

a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa mp(a, b) và (Q)?

Trả lời rút gọn: 

a) Vẽ đi qua và song song đi qua và song song ;

b) .

Khám phá 4 (Trang 115):

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b. Xét vị trí tương đối của a và b.

Trả lời rút gọn: 

.

Thực hành 2 (Trang 116):

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thằng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.

Trả lời rút gọn: 

Gọi M, N, P lần lượt giao điểm của mặt phẳng (α) với AB, AD và SA

Ta có (ABCD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MN và BD nên MN//BD. Do đó

Ta có (SAB) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MP và AB nên MP//AB. Do đó

Ta có (SAD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại NP và AD nên NP//AD. Do đó

Suy ra

Mà tam giác SBD đều nên SB = BD = SD

Vậy ta có: MN = MP = NP hay tam giác MNP đều.

Vận dụng 2 (Trang 116):

Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bánh. Giải thích.

Trả lời rút gọn: 

Mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng chứa các lớp bánh song song theo giao tuyến song song.

4. ĐỊNH LÍ THASLES TRONG KHÔNG GIAN

Khám phá 5 (Trang 116):

Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a’ tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B1 là giao điểm của AC’ với (Q) (Hình 12).

a) Trong tam giác ACC’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa

b) Trong tam giác AA’C’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa

c) Từ đó, nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số

Trả lời rút gọn: 

a) Trong tam giác ACC', ta có nên

b) Trong tam giác AA'C', ta có nên

c) Ta có:

Thực hành 3 (Trang 117):

Cho hình chóp S.ABC có SA = 9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi qua M, N, cắt SB theo thứ tự tại M’, N’ và cắt SC theo thứ tự tại M”, N”. Tính độ dài các đoạn thẳng SM’, M’N’, M”N”, N”C.

Trả lời rút gọn: 

Trong tam giác SAB có MM'//AB nên . Suy ra

Trong tam giác SAB có NN'//AB nên . Suy ra  

Do đó

Trong tam giác SAC, có MM''//AC nên . Suy ra

Trong tam giác SAC có NN''//AB nên  . Suy ra  

Do đó

Khám phá 6 (Trang 117):

Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Trả lời rút gọn: 

Hình dạng của các đồ vật trên đều có đặc điểm là:

+) Có hai đáy là hai mặt song song với nhau.

+) Các mặt bên là các hình chữ nhật.

+) Các cạnh bên có độ dài bằng nhau.

Khám phá 7 (Trang 118):

Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành;

b) Các mặt AA’C’C và BB’D’D là hình bình hành;

c) Bốn đoạn thẳng A’C, AC’, B’D, BD’ có cùng trung điểm.

Trả lời rút gọn: 

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC.

a) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABB'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và A'B' nên AB//A'B'.

Mà AA'// BB', 

Mặt bên ABB'A' là hình bình hành.

Tương tự ta có mặt bên BCC'B', CDD'C', ADD'A' là hình bình hành

+) Ta có: CD//C'D', A'B'//AB mà AB//CD nên C'D'//A'B'

B'C'//BC, A'D'//AD mà BC//AD nên B'C'//A'D'

Suy ra mặt đáy A'B'C'D' là hình bình hành.

b) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ACC'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AC và A'C' nên AC//A'C'

Mà AA'//CC' 

Suy ra ACC'A' là hình bình hành.

Tương tự ta ó BB'D'D là hình bình hành

c) Ta có ACC'A' là hình bình hành nên AC', A'C là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)

BDD'B' là hình bình hành nên BD', B'D là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Ta có (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABC'D') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và C'D' nên AB//C'D'

Mà ABCD là hình bình hành nên AB = DC; DCC'D' là hình bình hành nên DC=D'C'. Do dó AB=C'D'

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Nên AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra A'C, AC', B'D, BD' có cùng trung điểm.

Thực hành 4 (Trang 119): 

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Trả lời rút gọn: 

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại NP và SR nên NP//SR

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (BDD'B') lần lượt tại MS và PQ nên PQ//MS

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') lần lượt tại MN và QR nên MN//QR

Vận dụng 3 (Trang 119): 

Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Trả lời rút gọn: 

Hình lăng trụ bất kì có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là hình lập phương.

5. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1 (Trang 119):

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượT đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:

AA’ + CC’ = BB’ + DD’.

Trả lời rút gọn: 

Ta có , suy ra . Mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song và theo hai giao tryến và , suy ra . 

Tương tự, ta có . Suy ra tứ giác là hình bình hành.

Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành và . Ta có ’ là đường trung bình của hai hình thang và .

Suy ra .

Bài 2 (Trang 120):

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).

Trả lời rút gọn: 

a) Ta có (đường trung bình của tam giác ); (đường trung bình của tam giác , suy ra .

b) Ta có , suy ra nằm trong , suy ra nằm trong .

Theo câu a) ta có , suy ra . 

Bài 3 (Trang 120):

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

a) Chứng minh (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh (DEF) // (MNN’M’).

Trả lời rút gọn: 

a) Ta có , suy ra .

b) Ta có .

Mặt khác .

Từ (1) và (2), suy ra , suy ra .

Ta lại có , suy ra .

Bài 4 (Trang 120):

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

Trả lời rút gọn: 

Gọi lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành và .

Trong hình bình hành , gọi là giao điểm của và .

Ta có , suy ra là trọng tâm của tam giác hay . Vậy di qua trọng tâm của tam giác .

Tương tự, đi qua trọng tâm của tam giác  .

Ta có và , suy ra là hình bình hành, suy ra . Ta có là đường trung bình của tam giác , suy ra .

Tương tự, ta có .

Vậy và chia đoạn thành ba phần bằng nhau.

Bài 5 (Trang 120):

Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’, Bình gắn hai thanh tre A1D1, F1C1 song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại O1 (Hình 19).

a) Xác định giao tuyến của mp(A₁D₁, F₁C₁) với các mặt bên của lăng trụ.

b) Cho biết A’A₁ = 6AA₁ và AA’ = 70 cm. Tính CC₁ và C₁C’.

Trả lời rút gọn: 

a) Ta có song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại , suy ra song song với mặt phẳng đáy của lăng trụ và hai mặt phẳng song song này cắt các mặt bên của lăng trụ theo từng cặp giao tuyến song song. 

. Ta có các giao tuyến của với các mặt bên của lăng trụ là .

b) Áp dụng định lí Thalès trong không gian đối với ba mặt phẳng song song và hai cát tuyến và , ta có:

Suy ra

Bài 6 (Trang 120):

Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về mặt phẳng song song trong thực tế.

Trả lời rút gọn: 

Các mặt phẳng song song trong Hình 20a là các bề mặt của tấm pin năng lượng mặt trời.

Các mặt phẳng song song trong Hình 20b là các mặt trước và mặt sau của ngôi nhà.