Slide bài giảng Toán 11 chân trời Chương 1 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Tóm lược nội dung

BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ 

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Khám phá 1 (Trang 25):

Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost;

b) Giá trị tant () và cos t(nếu

Trả lời rút gọn:

a) Với mỗi số thực , góc lượng giác rad được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác, mỗi điểm như vậy đều có một tung độ và một hoành độ duy nhất, chính là và . 

Do đó xác định duy nhất giá trị và .

b) Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị tan .

Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị .

Như vậy và là các hàm số.

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Khám phá 2 (Trang 26):

Xét hai hàm số y = x², y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và – 1, 2 và – 2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Trả lời rút gọn:

a) và . 

Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xứng qua trục . Điều này có được vì giá trị hàm số tại và là bằng nhau với mọi .

b) và . Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xúng qua gốc tọa độ . Điều này có được vì giá trị hàm số tại và là đối nhau với mọi .

Thực hành 1 (Trang 27):

Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ. 

Trả lời rút gọn:

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và .

Do đó là hàm số lẻ.

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì , , cũng có nghĩa là . Hơn nũa, . Do đó là hàm số lẻ.

Khám phá 3 (Trang 27):

Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x ∈ℝ.

Trả lời rút gọn:

bằng hoặc một bội bất kì khác của . Như vậy giá trị của hàm số sin lặp lại trên từng đoạn có độ dài .

Thực hành 2 (Trang 27):

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx. 

Trả lời rút gọn:

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có và .

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có

và .

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Khám phá 4 (Trang 28):

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời rút gọn:

Khám phá 5 (Trang 28):

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời rút gọn:

Thực hành 3 (Trang 30):

Cho hàm số y = cosx với x

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tại các điểm nào thì giá trị của hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc sao cho sin <0.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có đồ thị hàm số với

b) Xét trên đoạn

Tại điểm có hoành độ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

c) Khi thì

Vận dụng 1 (Trang 30):

Li độ s(cm) của một con lắc đồng hồ theo thời gian t(giây) được cho bởi hàm số s = 2cosπt. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất.

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)

Trả lời rút gọn:

Trong 3 giây đầu, ta có , nên . Đặt và từ đồ thị hàm số côsin, ta có đồ thị hàm trên đoạn như sau:

Ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hoặc . Khi dó hoặ .

Khám phá 6 (Trang 30):

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời rút gọn:

Khám phá 7 (Trang 31):

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời rút gọn:

TH4 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Cho hàm số y = cotx với

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Có bao nhiêu giá trị x mà tại đó giá trị hàm số đã cho bằng 2?

Trả lời rút gọn:

a) Ta có đồ thị hàm số với và  

b) Trong hình dưới đây, ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. Do đó, có hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2.

Vận dụng 2 (Trang 32):

Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến 0làm trục tung. Khi đó tung độ cảu một điểm có vĩ độ được cho bởi hàm số y = 20tan Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20 cm trên bản đồ.

Trả lời rút gọn:

Điểm nằm cách xích đạo có hoặc , nghĩa là hoặc

nên .

Đặt và xét đồ thị hàm số trên khoảng , ta có đồ thị như hình:

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ Bắc và Nam nằm cách xích đạo .

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1 (Trang 32):

Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) y = 5sin²x + 1;

b) y = cosx + sinx;

c) y = tan2x.

Trả lời rút gọn:

a) Hàm số chẵn vì

Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và  

b) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ;

Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và

c) Hàm số lẻ.

Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và  

Bài 2 (Trang 32):

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y =

b) tan

c)  

Trả lời rút gọn:

a) Hàm số đã cho xác định khi , hay .

Tập xác định .

b) Hàm số đã cho xác định khi hay .

Tập xác định .

c) Vì với mọi , nên với mọi . Do đó .

Bài 3 (Trang 33):

Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.

Trả lời rút gọn:

Do  nên

Vậy tập giá trị của hàm số là .

Bài 4 (Trang 33):

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x ∈ [– π; π] thỏa mãn sinx =

Trả lời rút gọn:

Ta có đồ thị hàm số trên đoạn

Trên đoạn , ta có , suy ra hoặc .

Bài 5 (Trang 33): 

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số vx = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx.

b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì v_x tăng.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có với mọi . Do đó, giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là .

b) Vì nên tăng khi và chỉ khi tăng. Do đó, dựa vào đồ thị của hàm trên đoạn trong hình dưới đây, vận tốc tăng khi và chỉ khi .

Bài 6 (Trang 33):

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Trả lời rút gọn:

a)

b) Vận tốc góc của gàu là .

Góc quay của gàu là .

Trong 1 phút đầu, ta có (giây) suy ra .

Vì nên . 

Xét đồ thị hàm số trong đoạn như hình, ta thấy có bốn giá trị thoả mãn là .

Do đó .

Bài 7 (Trang 33):

Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π).

a) Biểu diễn tọa độ x_H của điểm H trên trục T_x theo α.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với thì x_H nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời rút gọn:

a) .
b) Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy khi thì .

Do đó , hay .