Slide bài giảng Toán 11 chân trời Chương 2 Bài 3: Cấp số nhân

Tóm lược nội dung

BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN

1. CẤP SỐ NHÂN

Khám phá 1 (Trang 57):

a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64.

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) 3; 6; 12; 24; 48.

ii)

iii) 2; – 6; 18; – 54; 162; – 486.

Trả lời rút gọn:

a) Thương của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2.

b) Điểm giống nhau của các dãy số là: 

Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi.

Thực hành 1 (Trang 58):

Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2^m, 2ⁿ, 2^p theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Trả lời rút gọn:

Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có:

Ta có:

Và

Vậy theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là

Vận dụng 1 (Trang 58):

Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Trả lời rút gọn:

Dân số qua các năm là:

.....

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là

Vận dụng 2 (Trang 58):

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo https:..vi.wikipedia.org/wiki/Đô­­_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời rút gọn:

Do tần số của ba phím  Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là:

Ta có: và Nên

Suy ra:

Vậy tần số của phím La là 440 Hz.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN

Khám phá 2 (Trang 59):

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Tính u₂, u₃, u₄ và u₁₀ theo u₁ và q.

Trả lời rút gọn:

Thực hành 2 (Trang 59):

Viết công thức số hạng tổng quát u_n theo số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80; ...

b)

Trả lời rút gọn:

a)

b)

Vận dụng 3 (Trang 59):

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa (theo https://vi.wikipedia.org/wiki/Poloni-210 ). Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày;

b) 7 314 ngày (khoảng 20 năm).

Trả lời rút gọn:

a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

;

b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

.

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

Khám phá 3 (Trang 59):

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

a) So sánh q.S_n và (u₂ + u₃ + ... + u_n) + q.u_n;

b) So sánh u₁ + q.S_n và S_n + u₁.qⁿ.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có: 

Vậy

b) Ta có:

Vậy

Thực hành 3 (Trang 60):

Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) trong các trường hợp sau:

a) u₁ = 10⁵; q = 0,1; n = 5;

b) u₁ = 10; u₂ = – 20; n = 5.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có: 

Vậy

b) Ta có:

Vậy

Vận dụng 4 (Trang 60):

Trong bài toán ở hoạt động khởi động đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Trả lời rút gọn:

Ta có:

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1 (Trang 60):

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) u_n = 3.(– 2)ⁿ;

b) u_n = (– 1)ⁿ.7ⁿ;

c)

Trả lời rút gọn:

a) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
b) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
c)Ta có: . Vì nên không phải là cấp số nhân.

Bài 2 (Trang 60):

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

a) ;

b) .

Trả lời rút gọn:

a)

b)

Bài 3 (Trang 60):

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Trả lời rút gọn:

a) Gọi số đo bốn góc của tứ giác lập thành cấp số nhân là . Ta có:

Vậy số đo bốn góc của tứ giác là .
b) . Vậy sáu số cần tìm là: . 

Số hạng thứ 15 là: -32768 .

Bài 4 (Trang 40):

Ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Trả lời rút gọn:

Ta có lập thành cấp số cộng, suy ra:

Suy ra lập thành cấp số nhân.

Bài 5 (Trang 60):

Tính các tổng sau:

a) ;
b)

Trả lời rút gọn:

a) ;
b)

Bài 6 (Trang 60):

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Trả lời rút gọn:

.

Bài 7 (Trang 61):

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Trả lời rút gọn:

a) Dân số của thành phố vào năm thứ n là:

(triệu người).
b) Khi

Vậy đến năm 2115, dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022

Bài 8 (Trang 61):

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.

Trả lời rút gọn:

a) .
b) .