Video giảng Toán 11 Chân trời bài 3 Cấp số nhân

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN

Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết một dãy số là cấp số nhân.
• Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
• Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân.
• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,..).

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Trước khi vào bài, cô muốn các em đọc tình huống mở đầu:

Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó.

Gọi u1=120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và u2;u3;...;un;... là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.

Cô sẽ mời đại diện một số bạn chia sẻ kết quả thảo luận của mình. Các bạn khác có thể đặt câu hỏi hoặc bổ sung ý kiến để bài học của chúng ta thêm phần phong phú.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. CẤP SỐ NHÂN 

Nội dung 1: Tìm hiểu cấp số nhân.

Bây giờ các em hãy thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1

Và có thể các em chưa biết, dãy số như trên được gọi là cấp số nhân.

Vậy theo các em, thế nào là cấp số nhân.

Và các em hãy nhớ rằng cấp số nhân xác định khi biết số hạng đầu và công bội.

Giờ cô có nhiệm vụ sau cho các em:

- đọc, giải thích Ví dụ 1, 2, 3.

- Từ kết quả của Ví dụ 3, khái quát về tính chất của ba số liên tiếp trong một cấp số nhân.

- Sau đó các em thực hiện Thực hành 1.

+ vì m, n, p lập thành cấp số cộng, viết mối quan hệ của m, n, p.

+ Từ đó viết mối quan hệ của 2m,2n,2p.

- Rồi thực hiện Vận dụng 1, 2.

+ VD1: Viết dân số các năm theo P và a%, từ đó xác định được số hạng đầu, công bội.

+ VD2: Viết tần số ba phím đã cho theo một cấp số nhân, rồi tìm công bội.

Video trình bày nội dung: 

HĐKP 1

a) Thương của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2.

b) Điểm giống nhau của các dãy số là: 

Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi.

Kết luận

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể tử số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

un=un-1q với nN*. 

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Dãy số (un) là cấp số nhân thì

uk2=uk-1.uk+1, k≥2.

Thực hành 1

Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: n = m + d, p = n+ d

Ta có: 2n=2m+d=2m.2d

Và 2p=2n+d=2n.2d

Vậy 2m,2n,2p theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là 2d.

Vận dụng 1

Dân số qua các năm là:

u2011=P

u2012=P+aP=P1+a=u2011.(1+a)

u2013=P(1+a)+aP(1+a)=P(1+a)2=u2012.(1+a)

.....

un+1=un(1+a)

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là 1+a.

Vận dụng 2

Do tần số của ba phím  Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: a,aq,aq2

Ta có: a=415 và aq2=466. Nên q=1,06

Suy ra: aq=440

Vậy tần số của phím La là 440 Hz.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN

Nội dung 2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số nhân

Các em cùng nhau thảo luận và làm HĐKP 2, để tìm ra số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Sau đó cô sẽ chốt lại kiến thức: định lí 1.

Để củng cố kiến thức, chúng ta sẽ thực hiện Ví dụ 4, Thực hành 2, Vận dụng 3.

+ TH4: xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

+ VD3: Xác định công bội và số hạng đầu. Rồi tính chu kì bán rã trong mỗi câu a, b. 

Video trình bày nội dung: 

HĐKP 2

u2=u1.q

u3=u2.q=u1.q2

u4=u3.q=u1.q3

u10=u1.q9

Định lí 1

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1qn-1 với n≥2. 

Ví dụ 4 (SGK -tr.59)

Thực hành 2

a) un=5.2n-1

b) un=1.110n-1

Vận dụng 3

a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: 20⋅124=1,25( g);

b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: 20⋅1252≈4,44⋅10-15( g).

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

Nội dung 3: Tìm hiểu cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

- Từ đó có công thức tính tổng n số hạng đầu của dãy.

- HS áp dụng thực hiện Ví dụ 5, Thực hành 3, Vận dụng 4.

+ TH3: xác định công bội của dãy số, giá trị n, rồi áp dụng công thức tính.

+ VD4: xác định số hạng đầu, công bội, giá trị n bằng bao nhiêu.

HĐKP 3

Sn=u1+u2+…+un

=u1+u1.q+u1.q2+....+u1.qn-1

a) Ta có: 

q.Sn=u1.q+u1.q2+....+u1.qn

u2+…+un+q.un=u1.q+u1.q2+....+u1.qn-1+u1.qn

Vậy q.Sn=u2+…+un+q.un

b) Ta có: u1+q.Sn=u1+u2+…+un+q.un

=u1+u2+..+un+q.un=Sn+u1.qn

Vậy u1+q.Sn=Sn+u1.qn

Định lí 2

Giả sử un là một cấp số nhân với công bội q≠1. Đặt Sn=u1+u2+…+un. Khi đó

Sn=u11-qn1-q.

Chú ý: Khi q=1 thì Sn=n.u1

Ví dụ 5 (SGK -tr.60)

Thực hành 3

a) S5=105(1-0,15)1-0,1=11110

b) u2=-20=u1.q. 

Suy ra q=-2

S5=10.(1--25)1-(-2) =110 

Vận dụng 4

Ta có: u1=120;q=12

S10=120.1-12101-12=239,8 

……………………..

Nội dung video Bài 3 chương II còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.