Video giảng Toán 11 Chân trời bài 1 Đạo hàm

Tóm lược nội dung

BÀI 1. ĐẠO HÀM (3 TIẾT)

Cô chào cả lớp, chúng ta lại gặp nhau trong bài học ngày hôm nay rồi!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm như: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều, xác định tốc độ thay đổi của nhiệt đô.
• Nhận biết được định nghĩa đạo hàm. Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.
• Nhận biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm.
• Thiết lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm thuộc đồ thị.
• Nhận biết được số thông qua bài toán mô hình hóa lãi suất ngân hàng.

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Trước khi vào bài học, chúng ta cùng trả lời câu hỏi sau: 

Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐẠO HÀM

Nội dung 1: Tìm hiểu đạo hàm

Cả lớp hãy cùng thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Thông qua việc xét bài toán chuyển động rơi của vật, HS nhận biết khái niệm và cách tính vận tốc tức thời thông qua giới hạn của tốc độ trung bình của chuyển động. Qua đó, HS bước đầu làm quen với khái niệm đạo hàm.

- Từ kết quả của hoạt động trên, GV mở rộng bài toán giới thiệu giới hạn st-s(t0)t-t0  được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_o, kí hiệu v(t_o). Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số s(t).

Kí hiệu: v(t_o) = s'(t_o) = st-s(t0)t-t0 

- GV giới thiệu định nghĩa đạo hàm.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 1.

+ Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm.

- GV chú ý cho HS.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 2.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại f(x) = c. 

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại 1 hàm 1 số f(x) = 1x với x ≠ 0.

- Áp dụng đinh nghĩa hoàn thành phần Thực hành 1.

- GV đưa chú ý

- GV đặt câu hỏi mở rộng: “Vậy đạo hàm có ý nghĩa gì trong vật lí?"

- HS làm Vận dụng 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.

Video trình bày nội dung:

HĐKP 1:

Quãng đường rơi tự do của vật biểu diễn bởi công thức: St=4,9t2.

a) Kết quả: 

Khi t càng gần 5 thì giá trị của St-s(5)t-5 càng gần về 49.

b) Tại t0=5, ta có:

st-s(5)t-5=4,9t2-4,9.52t-5=49  .

c) st-s(t0)t-t0=4,9t2-4,9.t02t-t0=9,8t0  .

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 

fx-f(x0)x-x0 

Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0, kí hiệu là f'(x0) hoặc y'(x0).

Vậy: f'x0=fx-f(x0)x-x0 .

Ví dụ 1 (SGK – tr.38)

Chú ý

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a;b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a;b), kí hiệu y' hoặc f'(x).

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Thực hành 1

Với bất kì x0 ta có:

f'x=x3-x03x-x0=(x-x0)(x2+x.x0+x02)x-x0  =x2+x.x0+x02=3x02  

Vậy f'x=3x2.

Chú ý

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), có đạo hàm tại x0∈(a;b).

a) Đại lượng ∆x=x-x0 gọi là số gia của biến tại x0. Đại lượng ∆y=fx-fx0 gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, x=x0+∆x và

f'x0=∆y∆x=fx0+∆x-f(x0)∆x  .

b) Tỉ số ∆y∆x biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ x0 đến x0+∆x; còn f'x0 biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại thời điểm x0.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Nếu hàm số s=f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'(t0) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
• Nếu hàm số T=f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'(t0) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm t0.

Vận dụng 2

v2=s'2=4,9t2-4,9.22t-2 =4,9(t+2) =4,9.2+2=19,6

Vậy tại thời điểm t=2, vận tốc tức thời của chuyển động là 19,6m/s.

2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Nội dung 2: Tìm hiểu ý nghĩa hình học của đạo hàm

Em hãy thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2.

- GV nhận xét về vị trí tương đối của d và đồ thị (C): “Khi đó đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M.”

- GV giới thiệu bài toán mở rộng, đặt câu hỏi cho HS: 

+ Hệ số góc của cát tuyển M₀M được tỉnh bằng công thức nào? 

+ Khi x dần tới x₀ thì điểm M di chuyển như thế nào?

+ Khi đó, nói cát tuyến M₀M là tiếp tuyến của (C) được không? Vì sao? 

+ Hệ số góc của tiếp tuyến được tỉnh bằng công thức gì?

- GV tổng quát, giới thiệu phương trình tiếp tuyến.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 3.

+ Áp dụng công thức viết phươn trình tiếp tuyến tại M.

- GV cho HS thực hiện HĐTH 2 độc lập, mời 1 HS lên bảng trình bày.

Video trình bày nội dung:

HĐKP 2:

a)

Ta có: f'1=fx-f(1)x-1 =12x2-12x-1 =12(x2-1)x-1= 12x-1(x+1)x-1  

=12x+1=1  

b) Ta có: d đi qa M1;12 và có hệ số góc bằng k=f'1=1 nên:

y-12=1x-1⇒y=x-12.

Ta có hình vẽ sau: 

Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất một điểm M. 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (C) của hàm số y=f(x) và điểm M0x0;fx0 thuộc (C). Xét M(x;fx) là một điểm di chuyển trên (C).

• Hệ số góc của cát tuyến M0M được tính bởi công thức kM0M=tan  =fx-fx0x-x0.
• Khi cho x dần tới x0 thì M di chuyển trên (C) tới M0.
• Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn là M0T thì M0T được gọi là tuyến tuyến của (C)

tại M0 và M0 được gọi là tiếp điểm.

• Hệ số góc của tiếp tuyến M0T là:

kM0M=tan  =tan   

                        =fx-fx0x-x0=f'(x0) .

Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại x0∈(a;b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0x0;fx0.

Tiếp tuyến  M0T có phương trình là

y-fx0=f'x0x-x0.

Ví dụ 3 (SGK – tr.40)

HĐTH 2

Ta có: 

f'1=1x-1x-1=-(x-1)x(x-1) =-1x=-1  .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:

y-1=-1x-1⇔y=-x+2.

3. SỐ e

………..

Nội dung video bài 1: Đạo hàm còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.