Video giảng Toán 11 Chân trời bài 2 Cấp số cộng

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!

Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:

• Nhận biết một dãy số là cấp số cộng.
• Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
• Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng.
• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,..).

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Trước khi vào bài, cô muốn các em đọc tình huống mở đầu:

Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh hoạ dưới đây. 

+ Bạn hãy đếm và nêu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên. 

(Số ghế 5 hàng đầu tiên lần lượt là: 14; 17; 20; 23; 26.)

(các em hãy dự đoán về tính chất của dãy số trên).

+ Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. CẤP SỐ CỘNG 

Nội dung 1: Tìm hiểu cấp số cộng

Các em hãy cùng nhau hoàn thành HĐKP 1 nhé. Đây là một hoạt động rất thú vị, giúp chúng ta khám phá những điều mới lạ.

Và có thể các em chưa biết, dãy trên được gọi là một cấp số cộng.

Vậy theo các em, thế nào là cấp số cộng.

Thế các em đã biết để xác định cấp số cộng cần xác định số hạng đầu và công sai chưa nào!

Giờ cô có nhiệm vụ sau cho các em:

- đọc Ví dụ 1, chỉ ra cấp số cộng và công sai.

- đọc Ví dụ 2, chỉ ra số hạng đầu, công sai.

- đọc hiểu và giải thích Ví dụ 3, 4.

+ Ví dụ 3: Để chứng minh là cấp số cộng ta chỉ ra un+1-un=d là số không đổi.

- Từ kết quả ví dụ 4, ta khái quát mối quan hệ giữa ba số liên nhau trong cấp số cộng. 

Bây giờ, đến phần thực hành rồi! Các em hãy làm Thực hành 1, 2 và Vận dụng 1 nha!

Video trình bày nội dung: 

HĐKP 1

Các dãy số trên có điểm giống nhau:

Trong cùng một dãy số, số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.

Kết luận

Cấp số cộng là một dãy số (hữa hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi. 

un=un-1+d với n∈N*. 

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nhận xét: Nếu un là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy:

uk=uk-1+uk+12 ,∀k≥2

Thực hành 1 

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng vì kể từ số hạng hứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.

b) Ta có: un+1=9(n+1)-9=9n-9+9=un+9

Vậy dãy số (un)  là cấp số cộng có công sai d = 9

c) Ta có: vn+1=a(n+1)-b=an-b+a=vn+a

Vậy dãy số (vn)  là cấp số cộng có công sai d = a.

Thực hành 2

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, gọi 3 góc đó là: a; a+d; a+2d (a,d > 0)

Ta có: 

a+a+d+a+2d=180o

3a+3d=180o

a+d=60o (1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90o. Suy ra a+2d=90o (2)

Từ (1) và (2), ta tính được a=30o,d=30o

Vậy số đo 3 góc là 30o;60o;90o.

Vận dụng 1

Số ô trên các vòng là: u1=6;u2=12;u3=18

Ta thấy un+1=un+6

Vậy các ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Nội dung 2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số cộng

Để tính số hạng thứ 100 của một cấp số cộng un thì ta phải làm thế nào? Có phải cần tìm tất cả 99 số hạng đứng trước nó?

- HS thực hiện HĐKP 2.

- Từ đó có số hạng tổng quát của cấp số cộng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5, thực hiện Thực hành 3, Vận dụng 2.

+ Để tìm số hạng tổng quát theo đề bài, ta biểu diễn các số hạng đã cho theo u1 và d.

Video trình bày nội dung: 

HĐKP 2

u2-u1=d

u3-u1=2d

u4-u1=3d

.....

un-u1=(n-1)d

Định lí 1

Nếu cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định theo công thức

un=u1+n-1d,n≥2.

Ví dụ 5 (SGK -tr.54)

Thực hành 3

a) an=5+(n-1).(-5)=-5n+10

b) b10=b1+9d20=2+9dd=2

Suy ra số hạng tổng quát

bn=2+(n-1).2=2n

Vận dụng 2

c4=c1+3dc1+3d=80

c6=c1+5dc1+5d=40

Suy ra c1=140 và d=-20

cn=140+(n-1).(-20)=-20n+160

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là cn=-20n+160

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG

Nội dung 3: Tìm hiểu cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Các em hãy thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

Cô sẽ hướng dẫn các em để có công thức tổng quát về tổng n số hạng đầu của dãy.

Sau đó các em sẽ làm Ví dụ 6, Thực hành 4 và Vận dụng 3 nhé!

Video trình bày nội dung: 

HĐKP 3

a)

u1+un=u1+u1+(n-1)d=2u1+(n-1)d

u2+un-1=u1+d+u1+(n-2)d=2u1+(n-1)d

u3+un-2=u1+2d+u1+(n-3)d=2u1+(n-1)d

….

uk+un-k+1=2u1+(n-1)d

b) Theo a ta có

2(u1+u2+...+un)=n(2u1+(n-1)d)

2(u1+u2+...+un)=n(u1+un)

Định lí 2

Cho cấp số cộng un với công sai d. Đặt Sn=u1+u2+…+un. Khi đó

Sn=nu1+un2

Hay Sn=n22u1+(n-1)d

Ví dụ 6 (SGK -tr.55)

Thực hành 4

a) Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:

S50=502.0+50-1.22=2450

b) u3+u28=u1+2d+u1+27d=u1+u1+29d=u1+u30=100

S30=nu1+u302=30.1002=1500

c) S6=62u1+5d2=182u1+5d=6

S10=102u1+9d2=1102u1+9d=22

Suy ra  u1=-7;d=4

S20=202u1+19d2=620

Vận dụng 3

Ta có: u1=17;u2=20;u3=23

Suy ra d = 3 và un=17+(n-1).3=3n+14

a) u20=3.20+14=74

b) S20=20.(17+74)2=910

……………………..

Nội dung video Bài 2 chương II còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.