Slide bài giảng Toán 11 cánh diều Chương 8 Bài 5: Khoảng cách

Tóm lược nội dung

BÀI 5. KHOẢNG CÁCH

II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Hoạt động 1: Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao…

Trả lời rút gọn:

Do bác thợ khoan tường tại vị trí trên tường có độ cao so với nền nhà là nên  chính là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nền nhà.

=> độ dài đoạn thẳng gợi nên khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học.

Luyện tập 1: Cho hình chóp S.ABC có …

Trả lời rút gọn:

  và nên .

=>

Mà nên .

=>

Ta thấy và nên khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Hoạt động 2: Trong hình 64, hai mép của con đường gợi lên hình ảnh hai đường thẳng song song…

Trả lời rút gọn:

a) Gọi là điểm thuộc Δ sao cho điểm khác điểm

 , với       

và ⇒ . 

và ⇒  

là hình chữ nhật,

Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.

b) Do Δ // nên khoảng cách từ điểm bất kì (với thuộc đường thẳng Δ) đến đường thẳng gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song trong hình học.

Luyện tập 2: Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó…

Trả lời rút gọn:

Giả sử: Hai cột đèn liên tiếp được dựng vuông góc với mặt đường, chúng lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng và . 

Như vậy khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Vì các cột đèn được dựng thẳng đứng và vuông góc với mặt đường nên đường thẳng mà hai cột đèn đó gợi lên là song song với nhau, song song với .

Khi đó, đoạn thẳng nối hai chân cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và .

Vậy ta có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp đó là .

IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 3: Trong hình 67, thanh gốc dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng…

Trả lời rút gọn:

a) Lấy là điểm thuộc đường thẳng Δ sao cho điểm khác điểm .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm và trên mặt phẳng =>

=> và .

là hình chữ nhật.

=>  

hay .

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.

b) Vì đường thẳng Δ và mặt phẳng song song với nhau nên khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song trong hình học.

Luyện tập 3: Cho hình chóp S. ABC có SA = a…

Trả lời rút gọn:

+ Gọi là hình chiếu vuông góc của trên hay .

+ Xét có: lần lượt là trung điểm của và  

là đường trung bình của .

.

.

Trong kẻ

.

+ Xét  vuông tại (do ) có:

.

+ Xét có: 

là trung điểm của và  

là đường trung bình của .

.

V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 4: Trong hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi lên hình ảnh…

Trả lời rút gọn:

a) Vì sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song , và ta biết chiều cao của căn phòng là .

Vậy nên chiều cao của căn phòng đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình học.

b) Trên mặt phẳng lấy điểm khác .

Gọi là hình chiếu của trên nên

=>.

Do là hình chiếu của trên nên

=> .

  là hình chữ nhật.

=> hay .

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trong mặt phẳng

Luyện tập 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’…

Trả lời rút gọn:

+) .

.

Gọi là hình chiếu của trên , tức là

=>

+) .

Xét tam giác vuông tại (vì ) có:

.

Vậy

IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Hoạt động 5: Trong hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi lên…

Trả lời rút gọn:

Quan sát Hình 73 ta thấy đường thẳng lần lượt vuông góc với đường thẳng tại và vuông góc với đường thẳng tại .

Như vậy, đường thẳng vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và

Luyện tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC…

Trả lời rút gọn:

Gọi là trung điểm của .

là đường trung tuyến

.

Do

.

Xét đều cạnh , có là trung điểm của nên .

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hình 76 gợi lên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q)...

Trả lời rút gọn:

Vì hai mặt phẳng và song song với nhau nên khoảng cách giữa và bằng khoảng cách cột gỗ.

Vậy khoảng cách giữa và bằng 4,2 m.

 

Bài 2 – 3. Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c...

Trả lời rút gọn:

a) Xét có:

lần lượt là trung điểm của .

b) Xét có:

lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình

Mà

.

.

c) và

.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có …

Trả lời rút gọn:

a)

b)

Lại có:

.

.

c) Kẻ .

.

Xét vuông tại , có đường cao :

=> .

Bài 5. Với giả thiết ở bài tập 4 hãy: ....

Trả lời rút gọn:

a)  .

Lại có:

b)  ;  

.

Gọi . Kẻ .

.

=>.

Xét vuông tại , kẻ chiều cao .

  là trung điểm .

( lấy KQ của bài 4).

 .