Slide bài giảng Toán 11 cánh diều Chương 8 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tóm lược nội dung

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. Định nghĩa

Bài 1: Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà…

Trả lời rút gọn: 

Đường thẳng và đường thẳng vuông góc với nhau.

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không? 

Trả lời rút gọn: 

Ta thấy để cửa tròn xoay được trên mặt đất thì trục cửa phải vuông góc với mặt đất.

=>

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) 

Trả lời rút gọn:

=>

  là hình thoi =>

Xét và có:

=> .

III. Tính chất

Bài 1: Cho điểm O và đường thẳng a…

Trả lời rút gọn:

a)  =>

b) Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua điểm và vuông góc với .

Bài 2: Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật…

Trả lời rút gọn: 

Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng . Mà đường thẳng luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng luôn vuông góc với đường thẳng  

Bài 3: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18). 

Trả lời rút gọn:

a)  =>

Lại có: =>

Vì =>

b) Chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua và vuông góc với

Bài 4: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P) Chứng minh rằng M ∈ a 

Trả lời rút gọn:

Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước nên nếu: =>

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 1: Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi…

Trả lời rút gọn:

a) Nếu hai đường thẳng và song song với nhau và mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì mặt phẳng có vuông góc với đường thẳng  

b) Nếu hai đường thẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng thì chúng có song song với nhau

Bài 2: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm O…

Trả lời rút gọn:

Do =>

Xét có => (định lí Thalès).

Bài 3: Trong Hình 21 , hai mặt sàn của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a…

Trả lời rút gọn: 

a) Nếu và thì

b) Nếu và thì

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC)…

Trả lời rút gọn:

Do =>

=> .

V. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Trong mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian.

a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm

Trả lời rút gọn: 

a) Có 1 đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

b) Đường thẳng cắt mặt phẳng tại 1 điểm

- Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (Hình 24). Điểm được gọi là hình chiếu vuông góc (hay Hình chiếu) của điểm lên mặt phẳng .

Bài 2: Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) 

Trả lời rút gọn:

Trường hợp 1: :

- Bước 1: Tìm hình chiếu của lên

- Bước 2: Tìm hình chiếu của lên

- Bước 3: Nối với ta được đoạn thẳng là hình chiếu của lên .

Trường hợp 2: Đoạn có hoặc thuộc .

- Bước 1: Hình chiếu của điểm (hoặc ) thuộc lên là chính nó.

- Bước 2: Xác định hình chiếu (hoặc B’) của điểm còn lại lên

- Bước 3: Nối điểm và (hoặc và ) lại ta được hình chiếu của đoạn lên .

Trường hợp 3: tại (hoặc ).

- Sử dụng kết quả của Ví dụ 8, ta có:

- Hình chiếu của lên chính là điểm (hoặc điểm )

Trường hợp 4:

VI. Định lí ba đường vuông góc

Bài 1: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)…

Trả lời rút gọn:

Gọi A, B là 2 điểm phân biệt thuộc a

Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P)

a) Vì d ⊂ (P) nên d ⊥ AA′

Vậy nếu d ⊥ a′ thì d ⊥ mp(a,a′) do đó d ⊥ a

b) Ngược lại, nếu d ⊥ a thì d ⊥  mp(a,a′) do đó d ⊥ a′

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông.

Trả lời rút gọn:

( là hình chữ nhật)

 ⇒ ⇒

=> vuông tại

 Có ( là hình chữ nhật)

       (vì () 

=> ⇒

=> vuông tại

VI. Bài tập

Bài 1: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 

Trả lời rút gọn: 

• Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)…

Trả lời rút gọn: 

a) + là hình chiếu của trên mặt phẳng

+ là hình chiếu của trên mặt phẳng

⇒ là hình chiếu của trên mặt phẳng

+ là hình chiếu của trên mặt phẳng

⇒ là hình chiếu của trên mặt phẳng

+ là hình chiếu của trên mặt phẳng

⇒ là hình chiếu của trên mặt phẳng

b) là hình chiếu của lên =>

=>

=> => (1)

=> => (2)

Từ (1)(2) => là trực tâm

=> , mà =>

=> .

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD)…

Trả lời rút gọn:

a) Vì => (1)

Có là trực tâm => (2)

Từ (1)(2) =>

b) Vì => (1)

Có là trực tâm => (2)

Từ (1)(2) =>

c) Theo a và b:

=>

Xét Gọi cắt tại I.

tại I (Vì

Mà AK  và

thẳng hàng.

Vậy cùng đi qua một điểm.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có đáy là hình bình hành… 

Trả lời rút gọn:

a) Có (gt) => => (1)

Có ( là trực tâm ) (2)

Từ (1)(2) => =>

Mà ( là hình bình hành) =>

b) Có (gt) => => (1)

Có ( là trực tâm ) (2)

Từ (1)(2) => =>

Mà ( là hình bình hành) =>

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), BC ⊥ AB…

Trả lời rút gọn:

=> ; mà

=> => (1) 

Xét tam giác có lần lượt là trung điểm của

=> là đường trung bình của  

=> (2) 

Từ (1) và (2) =>

=>  là tam giác vuông tại