Slide bài giảng Toán 11 cánh diều Chương 8 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Tóm lược nội dung

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Hai vách ngăn tủ trong hình 45 gợi lên hình ảnh hai mặt phẳng…

Trả lời rút gọn:

Hai vách ngăn tủ được thiết kế vuông góc với nhau nên dễ dàng thấy được các góc nhị diện được tạo bởi hai mặt phẳng và là những góc nhị diện vuông.

Luyện tập 1: Nêu ví dụ trong thực tế minh họa hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc.

Trả lời rút gọn:

Những ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc là: Mặt tường vuông góc với sàn nhà, mặt ngang vuông góc với mặt đứng của bậc thang, ...

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2: Nền nhà, cánh cửa và mép cánh cửa…

Trả lời rút gọn:

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

b) Hai mặt phẳng và có vuông góc với nhau.

Luyện tập 2: Cho hình chóp S.ABCD…

Trả lời rút gọn: 

và nên .

Vì là hình thoi nên BD.

BD

=>

Mà nên (S.

III. TÍNH CHẤT

Hoạt động 3: Cho hình chóp S.OAB thỏa mãn…

Trả lời rút gọn:

a) 

=>

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng .

b) nên

Vậy SO vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

c) A. Mà:

Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .

Vì nên

=> .

Luyện tập 3: Cho tứ diện ABCD có ….

Trả lời rút gọn:

Mà

.

Vậy vuông tại .

Hoạt động 4: Trong hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi lên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn…

Trả lời rút gọn:

Hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Khi đó đường thẳng đi qua gáy sách chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Khi đó gáy sách vuông góc với với mặt bàn.

Luyện tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có…

Trả lời rút gọn:

a) .

=>.

Mà

=> .

b) 

=>.

c) .

=>.

Mà

=>.

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Quan sát ba mặt phẳng…

Trả lời rút gọn:

Từ hình ảnh ta thấy hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là và và

⦁ Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau kí hiệu là:

⦁ Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau kí hiệu là:

Bài 2. Chứng minh : Nếu hai mặt phẳng vuông góc…

Trả lời rút gọn:

Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.

Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng nằm trong mặt phẳng sao cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  và vuông góc với .

Lấy . Trong mặt phẳng qua kẻ đường thẳng vuông góc với .

 là góc phẳng nhị diện  

Mặt khác nên góc nhị diện vuông hay

=>

Mà .

=>a ⊥ (Q).

Bài 3. Chứng minh các định lí sau :

Trả lời rút gọn:

a) Giả sử ta có: gọi

Mà và là hai mặt phẳng phân biệt nên và không trùng nhau.

Hơn nữa: và cùng nằm trong nên xảy ra hai trường hợp:

⦁ Nếu , mà thì suy ra

⦁ Nếu cắt , gọi . Mà và nên . Khi đó sẽ tồn tại .

và =>

b) 

Giả sử có ba mặt phẳng thỏa mãn và Ta cần chứng minh

Gọi lấy sao cho .

và suy ra

Mà nên

=>

Bài 4. Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước…

Trả lời rút gọn:

Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng . 

Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng vuông góc với và chứa .

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng

- Xét trường hợp cắt tại .

Lấy sao cho . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

=> .

Khi đó hai đường thẳng và xác định mặt phẳng hay mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

Vì nên

- Xét trường hợp hoặc

Lấy . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

=>.

Khi đó hai đường thẳng và xác định mặt phẳng hay mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

Vì =>

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng :

Giả sử tồn tại mặt phẳng khác sao cho và .

 .

Mà nên . 

Mâu thuẫn với giả thiết không vuông góc với .

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng sao cho và

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật…

Trả lời rút gọn:

a) Xét tam giác vuông cân tại có: là đường trung tuyến (do là trung điểm của ) nên .

=>

.

=>

b) Do và nên .

Vì là hình chữ nhật nên

và trong .

=>

c) Do và nên

Vì tam giác vuông cân tại nên

và trong .

=> .

Hơn nữa nên

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh…

Trả lời rút gọn:

a) Do và .

=>

=>  .

b) Do nên là hình chiếu của trên.

=>góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Vì và nên .

Xét tam giác vuông tại có:

.

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .