Bài tập về vẽ thêm đường trung bình để tính góc, tính độ dài đoạn thẳng

1.

Từ giả thiết suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC, theo định lí về đường trung bình của tam giác thì ta có DE // BC nên BDEC là hình thang.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác ABC và tính chất góc trong cùng phía của DE // BC ta được:

$\widehat{C}=180^{\circ}-70^{\circ}-50^{\circ}=60^{\circ}$

$\widehat{D}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$

$\widehat{E}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$

2. 

Từ giả thiết E là trung điểm của BD, tam giác AKC cân tại A có đường cao AB ứng với cạnh đáy nên nó là đường trung tuyến hay B là trung điểm của KC. Vẽ thêm F là trung điểm của DC thì EF, BF lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BCD và tam giác KCD.

EF là đường trung bình của $\Delta $BCD nên EF // BC mà BC $\perp $ AB nên EF $\perp $ AB

Do đó EF là đường cao của $\Delta $ABF.

Mà BD là đường cao của $\Delta $ABF (BD $\perp $ AC) nên E là trực tâm của $\Delta $ABF

$\Rightarrow AE \perp BF$ (1)

Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $AKC ta được BF // KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE $\perp $ KD

3. 

Kẻ AI, BK cùng vuông góc với DC thì AI // BK, BK // CH ta được hình thang ABKI có hai cạnh bên song song.

$\Rightarrow $ AB = IK = 4cm

Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh vào hình thang cân ABCD ta được:

AD = BC và $\widehat{D}=\widehat{C};\widehat{I}=\widehat{K}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta $AID = $\Delta $BKC (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \frac{DI}{1}=\frac{KC}{1}=\frac{DI + KC}{2}=\frac{DC-IK}{2}=\frac{10-4}{2}=3$ (cm)

Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $DEH có DB = BE, BK // CH ta được DK = KH = DI + IK = 3 + 4 = 7 (cm)

Lại có KH = KC + CH suy ra CH = KH - KC = 7 - 3 = 4 (cm)