A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh tứ giác là hình thoi, ta có thể chứng minh theo một số cách sau đây:

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Hướng dẫn:

Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $A\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$ (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:

• AM = MB; CP = PD
• AQ = QD; BN = NC
• AB = CD; AD = BC

$\Rightarrow $ MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau

$\Rightarrow $ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE và AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Hướng dẫn:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC $\perp $ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD ta được:

• AB = AD
• $\widehat{B}=\widehat{D}$
• BE = DF

$\Rightarrow $ $\Delta $ABE = $\Delta $ADF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{4}}$ (1)

Điều này chứng tỏ $\Delta $AGH có đường cao AO đồng thời là đường phân giác nên $\Delta $AGH cân tại A $\Rightarrow $ HO = OG (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC (3)

Từ (1), (2) và (3) có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của $\widehat{HAG}$ nên nó là hình thoi.