A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Nhận dạng hình bình hành, chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy

- Nhận dạng hình bình hành: Thường sử dụng dấu hiệu nhận biết về cạnh đối và đường chéo.

- Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy dựa vào nhận xét: Nếu hai hình bình hành có một đường chéo chung thì hai đường chéo còn lại đi qua trung điểm của đường chéo chung đó.

Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn:

Tứ giác MNPQ là hình bình hành

Từ giả thiết ta có NP, MQ thứ tự là các đường trung bình của $\Delta $ABD và $\Delta $BCD. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác đó ta được:

• MQ // BD
• MQ = $\frac{1}{2}$BD
• NP // BD
• NP = $\frac{1}{2}$BD

$\Rightarrow $ MQ // NP; MQ = NP

Tứ giác MNPQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC, BD. Hạ AH $\perp $ BD; CK $\perp $ BD.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết ta có AH $\perp $ BD; CK $\perp $ BD $\Rightarrow $ AH // CK

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành ABCD và tính chất góc so le của AD // BC ta được:

• AD = CB
• $\widehat{D_{1}}=\widehat{B_{1}}$
• $\widehat{H}=\widehat{K}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\Delta $ADH = $\Delta $CBK (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow $ AH = CK

Tứ giác AHCK có hai cạnh đối AH và CK song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

b) Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành AHCK ta được hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do O là trung điểm của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Vậy A, O, C thẳng hàng.

2. Nhận dạng hình bình hành để chứng minh hai đường thẳng song song

- Ta nhận dạng hình bình hành.

- Dựa vào định nghĩa hình bình hành để chứng minh hai đường song song.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, trên hai cạnh AB, CD thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho AM = CN. Chứng minh BN // DM

Hướng dẫn:

Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

AB // CD

AB = CD

AM = CN

$\Rightarrow $ MB // DN và MB = DN

Tứ giác BNDM có hai cạnh đối MB và DN song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

$\Rightarrow $ BN // DM (hai cạnh đối song song)

3. Vẽ thêm hình bình hành để chứng minh quan hệ về độ dài và tính góc

- Vẽ thêm hình bình hành bằng cách xác định một đoạn thẳng có trung điểm làm một đường chéo, sau đó chọn một trong hai giải pháp sau:

• Vẽ thêm đường chéo thứ hai
• Kẻ thêm đường song song

- Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác

- Sử dụng tính chất cặp góc ở vị trí đồng vị hoặc so le của hai đường thẳng song song.

Ví dụ 4: Cho $\Delta $ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI với AC. Chứng minh rằng AD = $\frac{1}{3}$AC

Hướng dẫn:

Do I là trung điểm của AM theo giả thiêt nên chọn AM là một đường chéo. Vẽ thêm điểm E sao cho I là trung điểm của ED thì tứ giác ADME có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ADME ta được:

ME = AD và ME // AD, ME // DC

Ta có BM = MC; ME // DC

$\Rightarrow $ BE = ED (theo định lí đường trung bình, ME là đường trung bình của $\Delta $BDC)

Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $BDC ta được: ME = $\frac{1}{2}$DC

$\Rightarrow $ AD = $\frac{1}{2}$DC

$\Rightarrow $ AD = $\frac{1}{3}$AC