A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:

Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$, ta có:

$\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$ nếu A.D = B.C

Ví dụ 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?

$\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$ ; $\frac{x-3}{x}$ ; $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

Hướng dẫn:

Ta chỉ cần xét xem hai đẳng thức $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$ và $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$ có đúng hay không.

+) $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$

 $\Leftrightarrow (x^{2}-2x-3).x=(x-3).(x^{2}+x)$

 $\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}+x^{2}-3x^{2}-3x$

 $\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}-2x^{2}-3x$

Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$

+) $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

 $\Leftrightarrow (x-3)(x^{2}-x)=x(x^{2}-4x+3)$

 $\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-3x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$

 $\Leftrightarrow x^{3}-4x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$

Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$

Vậy 3 phân thức đã cho bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho ba đa thức: $x^{2}-4x; x^{2}+4,x^{2}+4x$. Hãy chọn một đa thức thích hợp điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

$\frac{...}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$

Hướng dẫn:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta có:

$(...).(x-4) = x(x^{2}-16)$ hay $(...).(x-4) = x^{3}-16x$

Cách 1: Lần lượt thay 3 đa thức đã cho vào chỗ trống của biểu thức $(...)(x-4)$ ở vế trái ta được:

$(x^{2}-4x)(x-4)=x^{3}-8x^{2}+16x$

$(x^{2}+4)(x-4)=x^{3}-4x^{2}+4x-16$

$(x^{2}+4x)(x-4)=x^{3}-16x$

Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$

Cách 2: Gọi A là đa thức cần chọn, ta có:

 $A.(x-4)=x(x^{2}-16)$

$\Leftrightarrow A(x-4)=x(x-4)(x+4)$

$\Leftrightarrow A=x(x+4)$

$\Leftrightarrow A=x^{2}+4$

Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$