A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của  BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn:

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được AE = EB = BC = CF = FA = a.

a) Tứ giác ADFE là hinh vuông.

Vì tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Tương tự câu a) ta có EBCF là hình vuông.

Hình vuông ADFE có AF $\perp $ DE

Hình vuông EBCF có EC $\perp $ BF

Và $\widehat{MEF}=\widehat{NEF}=45^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{MEN}=\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ tứ giác MENF là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật MENF có EF lfa đường phân giác của $\widehat{MEN}$ nên nó là hình vuông

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Hướng dẫn:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$

MB = NC = PD = QA = a - x

$\Rightarrow $ $\Delta $MBN; $\Delta $NCP; $\Delta $PDQ; $\Delta $QAM bằng nhau (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow $ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

$\Delta $BMN = $\Delta $CNP $\Rightarrow  \widehat{BMN}=\widehat{CNP}$

Mà $\widehat{BMN}+\widehat{BNM}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{CNP}+\widehat{BNM}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{MNP}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ hình thoi MNPQ có một góc vuông do đó là hình vuông