A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Ví dụ 1: Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức đại số:

a) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

b) $\frac{1-\frac{2}{x+1}}{1-\frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}$

Hướng dẫn:

a) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x-1}{x}}=\frac{x+1}{x}.\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$

b) $\frac{1-\frac{2}{x+1}}{1-\frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}=\frac{\frac{x-1}{x+1}}{\frac{1}{x^{2}-1}}=\frac{x-1}{x+1}.(x^{2}-1)=\frac{x-1}{x+1}.(x+1)(x-1)=(x-1)^{2}$

2. Giá trị của phân thức

Các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức

+ Trước tiên, tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.

+ Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức được rút gọn có cùng một giá trị.

• Điều kiện để giá trị của một phân thức được xác định là giá trị tương ứng với mẫu thức của nó khác 0.

Ví dụ 2: Cho phân thức $\frac{x^{2}+4x+4}{x+2}$

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định.

b) Rút gọn phân thức.

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.

d) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0.

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác định: $x+2\neq 0\Leftrightarrow x\neq -2$

b) Với $x\neq -2$ ta có:

$\frac{x^{2}+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^{2}}{x+2}=x+2$

c) Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì giá trị của phân thức rút gọn cũng bằng 1; tức là x+2=1, do đó x = -1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện của x để phân thức được xác định.

d) Tương tự, nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 0 thì x+2=0 hay x=-2. Nhưng giá trị này không thỏa mãn điều kiện của x để phân thức được xác định.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.