A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

0 $\leq $ |a-b| < c < a + b

0 $\leq $ |b-c| < a < b + c

0 $\leq $ |c-a| < b < c + a

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong môt tứ giác: 

a) Mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.

b) Tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Hướng dẫn:

Ta đặt độ dài các cạnh như trên hình vẽ thì chu vi tứ giác ABCD là  a + b + c + d.

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC và ADC ga có:

AC < AB + BC hay AC < a + b

AC < AD + DC hay AC < c + d

$\Rightarrow 2AC < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$

Tương tự ta có: $BD < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$

Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cặp cạnh đối nhau AB, CD là $\Delta $OAB và $\Lambda $OCD ta được:

OA + OB > AB hay OA + OB > a

OC + OD > CD hay OC + OD > c

$\Rightarrow $ OA + OB+OC+OD > a+b. Hay AB + CD > a + c

Tương tự ta có: AC + BD > d+d

Vậy tổng hai đường chéo lơn hơn tổng hai cạnh đối.