Bài tập về sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác
1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác ấy.
2. Tìm điểm M trong tứ giác ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.
1.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác ABCD.
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
$\Delta $OAB có: OA + OB > AB
$\Delta $OBC có: OB + OC > BC
$\Delta $OCD có: OC + OD > CD
$\Delta $OAD có: OD + OA > AD
$\Rightarrow $ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
Hay 2(AC+BD) > AB + BC + CD + AD
$\Leftrightarrow AC + BD > \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$ (đpcm)
2.
Kẻ đường chéo AC, BD.
Nối MA, MB, MC, MD
Ta có:
$MA + MC \geq AC$, dấu "=" xảy ra khi $M\in AC$
$MB + MD \geq BD$, dấu "=" xảy ra khi $M\in BD$
$\Rightarrow MA+MB+MC+MD\geq AC+BD$
Vậy tổng khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất thì MA + MB + MC + MD = AC + BD.
Khi đó $M\in AC$ và $M\in BD$. Hay M là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác.
Bình luận