Bài tập về nhận dạng hình bình hành, chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy

1. Các câu sai: a, b

   Các câu đúng: c, d

2. 

a) Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

• BC // AD, BC = AD
• BM = MC, AN = ND

$\Rightarrow $ MC // AN; MC = AN và BM // DN; BM = DN

Vậy hai tứ giác AMCN và BMDN đều có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên chúng là hình bình hành.

b) Hai hình bình hành AMCN và BMDN có MN và đường chéo chung.

Gọi O là trung điểm của MN. Theo tính chất về đường chéo của hình bình hnàh thì hai đường chéo còn lại là AC và BD phải đi qua trung điểm của đường chéo chung MN.

Vậy ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại O.

3.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

AD // BC và BN = DQ $\Rightarrow $ BN // DQ và BN = DQ

$\Rightarrow $ BNDQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

• AB = CD, AD = BC
• AM = BN = CP = DQ

$\Rightarrow $ MB = PD; QA = NC

Kết hợp với tính chất về góc của hình bình hành $\widehat{A}=\widehat{C}; \widehat{B}=\widehat{D}$ ta có 

$\Delta $QAM = $\Delta $NCP; $\Delta $MBN = $\Delta $PDQ (c-g-c)

$\Rightarrow $ QM = NP; MN = PQ

Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

b) Hai hình bình hành ABCD, BNDQ có BD là đường chéo chung.

Gọi O là trung điểm của BD theo tính chất về đường chéo của hình bình hành thì hai đường chéo còn lại là AC và NQ nhận O là trung điểm.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành MNPQ ta được đường chéo MP phải đi qua trung điểm O của đường chéo NQ.

Vậy bốn đường thẳng AC, BD, MP và NQ đồng quy tại điểm O.

4. 

Xét tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và R, S theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.

Trước hết ta chunsg minh các tứ giác MNPQ và RNSQ là hình bình hành

Do hai hình bình hành trên có đường chéo NQ chung nên 3 đường chéo NQ, MP, RS đồng quy tại 1 điểm.