Bài tập về vẽ thêm đường trung bình để chứng minh quan hệ về độ dài
4. Cho $\Delta $ABC, trung tuyến AM. Gọi D là một điểm trên cạnh AC sao cho AD = $\frac{1}{3}$AC, BD cắt AM tại I. Chứng minh AI = IM
5. Cho $\Delta $ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của DE với BC. Chứng minh DI = IE
6. Cho $\Delta $ABC có trung tuyến AM. Qua O là trung điểm của trung tuyến AM kẻ đường thẳng d sao cho d cắt cả hai cạnh AB, AC. Gọi H, K, I lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ các điểm A, B, C đến đường thẳng d. Chứng mỉnh rằng BK + CI = 2AH.
4.
Do M là trung điểm của BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm E là trung điểm của DC thì ME là đường trung bình của $\Delta $BCD.
Kết hợp giả thiết ta được:
$\frac{AD}{1}=\frac{AC}{3}=\frac{AC-AD}{3-1}=\frac{DC}{2}$, nên AD = DE = EC
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác BCD ta được ME // BD suy ra ME // ID.
$\Delta $AEM có đường thẳng DI đi qua trung điểm D của AE và song song với ME nên đi qua trung điểm I của AM hay AI = IM.
5.
Kẻ DH // BC thì tứ giác BDHC là hình thang và DH // IC
Hình thang BDHC lại có $\widehat{B}=\widehat{C_{1}}$ theo tính chất về góc của tam giác cân ABC nên nó là hình thang cân.
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình thang cân BDHC, ta được:
BD = HC và BD = CE
$\Rightarrow $ HC = CE
$\Delta $DHE có đường thẳng CI đi qua trung điểm C của HE và song song với DH nên CI đi qua trung điểm của DE. Hay DI = IE
6.
Từ giả thiết ta có tứ giác BCIK là hình thang vuông và M là trung điểm của BC nên vẽ thêm P là trung điểm của KI thì MP là đường trung bình của hình thang BCIK
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang BCIK, ta được BK + CI = 2MP (1) và MP // BK suy ra $\widehat{P}=\widehat{K}=90^{\circ}$
Lại có AO = MO (theo giả thiết) và $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$ (đối đỉnh) nên $\Delta $AOH = $\Delta $MOP (cạnh huyền - góc nhọn)
Do đó AH = MP (2)
Từ (1) và (2) suy ra BK + CI = 2AH
Bình luận