Bài tập về vẽ thêm đường trung bình để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng
7. Cho $\Delta $ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh DE // HI và DE = HI.
8. Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh bên, trung điểm hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng.
9. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua hai trung điểm M, N của AB, CD cắt các đường thẳng AD, BC thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng $\widehat{APM}=\widehat{BQM}$
7.
Từ giả thiết ta có ED, HI lần lượt là các đường trung bình của $\Delta $ABC và $\Delta $GBC. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này ta được:
- ED // BC; HI // BC
- ED = $\frac{1}{2}$BC; HI = $\frac{1}{2}$BC
$\Rightarrow $ DE // HI; DE = HI
8.
Xét hình thang ABCD có AB // CD.
Gọi E, P, Q, F lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC thì EF, EP, EQ theo thứ tự là các đường trung bình của hình thang ABCD, $\Delta $ABD và $\Delta $ACD
Áp dụng định lí đường trung bình vào các tam giác và hình thang ta được:
- EP // AB // CD
- EQ // CD // AB
- EF // AB // CD
Suy ra 4 điểm E, P, Q, F thẳng hàng (vì từ điểm E nằm ngoài hai đường thẳng AB // CD chỉ kẻ được một đường thẳng song song với hai đường thẳng đó)
9.
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD theo giả thiết nên vẽ thêm I là trung điểm của BD thì IM, IN theo thứ tự là đường trung bình của $\Delta $ABD và $\Delta $BCD.
Áp dụng định lí đường trung bình giả giả thiết vào $\Delta $ABD và $\Delta $BCD ta được:
- IM // AC; IN // BC
- IM = $\frac{1}{2}$AD; IN = $\frac{1}{2}$BC
- AD = BC
$\Rightarrow $ IM = IN; $\widehat{M_{1}}=\widehat{P};\widehat{N_{1}}=\widehat{Q_{1}}$
$\Delta $NIM có IM = IN nên $\Delta $MNI cân tại I nên $\widehat{M_{1}}=\widehat{N_{1}}$
$\Rightarrow \widehat{P}=\widehat{Q_{1}}$ hay $\widehat{APM}=\widehat{BQM}$
Bình luận