Bài tập về vẽ thêm đường trung bình để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng

7.

Từ giả thiết ta có ED, HI lần lượt là các đường trung bình của $\Delta $ABC và $\Delta $GBC. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này ta được:

• ED // BC; HI // BC
• ED = $\frac{1}{2}$BC; HI = $\frac{1}{2}$BC

$\Rightarrow $ DE // HI; DE = HI

8.

Xét hình thang ABCD có AB // CD.

Gọi E, P, Q, F lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC thì EF, EP, EQ theo thứ tự là các đường trung bình của hình thang ABCD, $\Delta $ABD và $\Delta $ACD

Áp dụng định lí đường trung bình vào các tam giác và hình thang ta được:

• EP // AB // CD
• EQ // CD // AB
• EF // AB // CD

Suy ra 4 điểm E, P, Q, F thẳng hàng (vì từ điểm E nằm ngoài hai đường thẳng AB // CD chỉ kẻ được một đường thẳng song song với hai đường thẳng đó)

9. 

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD theo giả thiết nên vẽ thêm I là trung điểm của BD thì IM, IN theo thứ tự là đường trung bình của $\Delta $ABD và $\Delta $BCD.

Áp dụng định lí đường trung bình giả giả thiết vào $\Delta $ABD và $\Delta $BCD ta được:

• IM // AC; IN // BC
• IM = $\frac{1}{2}$AD; IN = $\frac{1}{2}$BC
• AD = BC

$\Rightarrow $ IM = IN; $\widehat{M_{1}}=\widehat{P};\widehat{N_{1}}=\widehat{Q_{1}}$

$\Delta $NIM có IM = IN nên $\Delta $MNI cân tại I nên $\widehat{M_{1}}=\widehat{N_{1}}$

$\Rightarrow \widehat{P}=\widehat{Q_{1}}$ hay $\widehat{APM}=\widehat{BQM}$