Bài tập về tìm diện tích lớn nhất của một hình

9.

Xét $\Delta $ABC có CB = a; CA = b

Kẻ AH $\perp $ BC thì AC và AH lần lượt là đường xiên. Đường vuông góc kẻ từ điểm A ở ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng đó nên đường vuông góc AH là đường ngắn nhất, hay AH $\leq $ AC.

Do đó S = $\frac{1}{2}.AH.BC \leq \frac{1}{2}CA.CB=\frac{ab}{2}$

Ta có : $2(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})-4ab\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{4}\geq \frac{ab}{2}$

Vậy S = $\frac{ab}{2} \leq \frac{a^{2}+b^{2}}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a = b và AC = AH $\Leftrightarrow $ a = b và AC $\perp $ CB $\Leftrightarrow $ $\Delta $ABC vuông cân.

10.

Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng a là b và c và diện tích tam giác là S.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta được $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Theo bài 9 ta có S $\leq \frac{b^{2}+c^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}$

Vậy maxS = $\frac{a^{2}}{4}$. Dấu "=" xảy ra khi tam giác đó vuông cân.

11.

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a và b thì diện tích của hình chữ nhật là S = ab. Theo định lý Py-ta-go thì: $a^{2}+b^{2}=12^{2}$

Áp dụng kết quả bài 9 ta được:

S = $ab \leq  \frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{12^{2}}{2}=72$

Vậy maxS = 72 (cm$^{2}$). Dấu "=" xảy ra khi a = b hay hình chữ nhật đó là hình vuông.

Điều đó chứng tỏ trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng 12 thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

12.

Ta có: $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-ab\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$

Áp dụng kết quả trên ta có:

  $OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}=\frac{OA^{2}+OB^{2}}{2}+\frac{OB^{2}+OC^{2}}{2}+\frac{OC^{2}+OD^{2}}{2}+\frac{OD^{2}+OA^{2}}{2}$

$\geq OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA$

$\geq $ 2S_AOB + 2S_BOC + 2S_COD + 2S_DOA = 2(S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA ) = 2S

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD và $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOA}=90^{\circ}$.

Hay tứ giác ABCD là hình vuông có O là tâm.